خانه / بایگانی برچسب: علوم پایه (صفحه 5)

بایگانی برچسب: علوم پایه

سری فوریه سینوسی — به زبان ساده

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، درباره سری فوریه و تبدیل فوریه بحث کردیم. در این آموزش قصد داریم مفاهیم سری فوریه سینوسی را بیان کنیم. در ابتدا بسط تیلور را در نظر بگیرید. بسط تیلور،‌ یک نمایش سری از تابع $$f(x)$$ است. بسط تیلور تابع $$f(x)$$‌ در نقطه $$x=a$$، سری توانی توابع $$x-a$$ است. این بسط به صورت زیر نوشته می‌شود: $$fleft( x right) = sumlimits_{n = 0}^infty {frac{{{f^{left( n right)}}left( a right)}}{{n!}}{{left( {x – a} right)}^n}}$$ سری فوق، در بازه $$left| {x – a} right| < R$$ به تابع $$f(x)$$ همگرا می‌شود. یکی از شرایط لازم برای نوشتن بسط تیلور آن است که مشتقات تابع $$f(x)$$ ار همه درجات روی $$x=a$$ موجود باشد. به عبارت دیگر $${f^{left( n right)}}left( a right)$$ به ازای $$n = 0,1,2,3, ldots$$ وجود داشته باشد. اگر همه مشتقات تابع $$f(x)$$ وجود نداشته باشد، نوشتن بسط تیلور برای تابع مشکل می‌شود. این مشکل و چند مشکل اساسی دیگر، نشان می‌دهد که بسط تیلور، روش مناسبی برای نمایش سری یک تابع نیست. در بسیاری از موارد، این بسط مناسب است و احتیاجی به استفاده از..

توضیحات بیشتر »

گراف اویلری — به زبان ساده

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، درباره گراف و تعاریف مربوط به آن صحبت کردیم. در این آموزش قصد داریم مفهوم گراف اویلری و شبه اویلری را بیان کنیم. تاریخچه گراف اویلری یک مسئله که احتمالا خیلی‌ها با آن درگیر شده‌اند، رسم یک شکل بدون برداشتن خودکار از روی کاغذ و بدون عبور مجدد از هر خط است. در سال 1۷3۶ «اویلر» (Euler)، اولین بار مسئله مشهور «پل‌های کونیگسبرگ» (Seven Bridges of Konigsberg) را حل کرد. مسئله به این صورت بیان می‌شود که آیا می‌توان از نقطه‌ای شروع به قدم زدن کرد و همه پل‌ها را پیمود؟ مسئله پل‌های شهر کونیگسبرگ معادل این است که آیا در گراف شکل زیر، مدار یا دور اویلری وجود دارد یا خیر؟ اما مدار اویلری چیست؟ در بخش بعد به این پرسش پاسخ خواهیم داد. تعریف گذر و مدار اویلری در گراف‌های محدود، «گذر اویلری» (Eulerian Trail) یا «مسیر اویلری» (Eulerian Path) به مسیری گفته می‌شود که از همه یال‌های گراف فقط یک بار عبور کند. توجه به این نکته ضروری است که گذر اویلری، از هر یال فقط و فقط یک بار عبور می‌کند، اما می‌توان از هر رأس چندین بار عبور کرد. در گراف جهت دار، گذر اویلری تبدیل به گذ..

توضیحات بیشتر »

مفاهیم مقدماتی حسابان (بخش سوم) — به زبان ساده

در بخش قبلی این سری مقاله‌های «آشنایی با مفاهیم مقدماتی حسابان» در مورد راهبرد تفکر به روش «اشعه ایکس» و روش اعمال آن در محیط 2 بعدی صحبت کردیم. اینک این راهبرد بینایی اشعه ایکس خود را به محیط 3 بعدی نیز گسترش می‌دهیم. به تصاویر زیر دقت کنید. بدین ترتیب حلقه‌ها به پوسته‌ها تبدیل می‌شوند. برای مثال آب‌نبات خوشمزه‌ای را تصور کنید که پوسته رنگارنگی دارد. قاچ‌ها به گُوه تبدیل می‌شوند که قطاع‌های یکسانی مانند قاچ‌های پرتقال هستند. برش‌ها به صفحه تبدیل می‌شوند که دیسک‌های ضخیمی هستند که می‌توانند روی همدیگر انباشته شوند. قطعه‌های 3 بعدی را می‌توان این طور تصور کرد که گویی از همتایان 2 بعدی خود ساخته شده‌اند. برای نمونه می‌توانیم یک حلقه منفرد را مانند یک سکه بچرخانیم تا یک پوسته ایجاد شود. یک گوه مانند چند برش پیتزا (با اندازه‌های متفاوت) است که روی هم چیده شده‌اند در نهایت اگر یک برش را حول محورش بچرخانیم یک صفحه به دست می‌آید. مزایا و معایب هر کدام از این شکل‌های 3 بعدی مانند همتایان 2 بعدی‌شان است. پردازش‌های ارگانیک در لایه‌های پوسته به پوسته، رشد می‌یابند (مرواریدها درون صدف) تقسیم..

توضیحات بیشتر »

مشتق توابع معکوس — از صفر تا صد

در آموزش‌های قبلی از مجموعه مقالات ریاضی مجله فرادرس، درباره مفهوم مشتق و روش‌های مشتق‌گیری بحث کردیم و مباحثی مانند مشتق لگاریتم و تابع نمایی، مشتق ضمنی، مشتق جزئی، مشتق زنجیره‌ای و مشتق جهتی را توضیح دادیم. در این آموزش، درباره مشتق توابع معکوس بحث خواهیم کرد. قضیه تابع معکوس فرض کنید $$f(x)$$ یک تابعِ اکیداً یکنوا در بازه $$(a, b)$$ باشد. اگر نقطه $$x_0$$ در این بازه وجود داشته باشد، به‌طوری که $$f’left( {{x_0}} right) ne 0$$، آن‌گاه تابع معکوس $$x = varphi left( y right)$$ نیز در $$ {y_0} = fleft( {{x_0}} right) $$ مشتق‌پذیر بوده و مشتق آن با رابطه زیر بیان می‌شود: $$ large varphi’left( {{y_0}} right) = frac{1}{{f’left( {{x_0}} right)}}. $$ اثبات: فرض کنید متغیر $$ y $$ در نقطه $$y _0 $$ به‌اندازه $$ Delta y ne 0 $$ نِمُو (رشد) داشته باشد. نمو متناظرِ متغیر $$x$$ را در نقطه $$x_0$$ با $$ Delta x $$ نشان می‌دهیم و به‌دلیل اکیداً یکنوا بودن $$ y = fleft( x right)$$، داریم: $$ Delta x ne 0 $$. نسبت نموها را می‌توان به‌صورت زیر نوشت: $$ large frac{{Delta x}..

توضیحات بیشتر »

رویه های درجه دوم — به زبان ساده

پیش‌تر در وبلاگ فرادرس مفاهیم مربوط به رسم خطوط و صفحات فضایی را بیان کردیم. در این مطلب قصد داریم تا یک قدم فراتر گذاشته و انواع رویه های درجه دوم را توضیح دهیم. شکل کلی رویه های درجه دوم رویه در ریاضیات به رابطه‌ای اشاره دارد که نشان دهنده سطحی سه‌بعدی است. هدف ما در این مطلب توضیح نحوه ترسیم رویه‌های درجه دوم است. رابطه کلی یک رویه درجه دوم به صورت زیر است. $$ Large A { x ^ 2 } + B { y ^ 2 } + C { z ^ 2 } + D x y + E x z + F y z + G x + H y + I z + J = 0 $$ در رابطه فوق A تا J ضرایب ثابتی هستند که اندازه آن‌ها نشان دهنده شکل رویه خواهد بود. در ادامه دسته‌بندی‌های مختلف این رویه‌ها را با توجه به شکل مختلف معادلات، معرفی خواهیم کرد. بیضی گون همان‌طور که در مطلب بیضی نیز بیان شد، شکل کلی یک بیضی دوبعدی به صورت زیر است. $$ Large frac { { { x ^ 2 } } } { { { a ^ 2 } } } + frac { { { y ^ 2 } } } {{ { b ^ 2 } } } = 1 $$ با اضافه کردن متغیر سوم، به رابطه‌ای می‌رسیم که پوسته‌ای بیضی گون را توصیف می‌کند. در نتیجه رابطه یک بیضی گون به صورت زیر است. $$ Large frac { { { x ^ 2 } } } ..

توضیحات بیشتر »

تانسور چیست؟ — مفاهیم اصلی

تانسورها در بسیاری از حوزه‌­های علم فیزیک از جمله الاستیسیته، مکانیک سیالات و نسبیت عام، چارچوب ریاضی فشرده و مختصری را برای فرمول­‌بندی و حل مسائل گوناگون فراهم می­‌کنند و به همین دلیل، از اهمیت خاصی برخوردار هستند. در این آموزش، مفاهیم مربوط به تانسور را بیان می‌کنیم. تعریف تانسور «تانسور» (Tensor)، نقطه‌ای از فضا است که توسط یک یا چند شاخص که بیانگر مرتبه آن است، توصیف می‌شود. به‌طور کلی، تانسوری با مرتبه $$n$$ در فضای $$m$$بعدی، $$n$$ شاخص و $$m^n$$ مؤلفه دارد و از قواعد تبدیل معینی تبعیت می‌کند. مثلاً، تانسوری با مرتبه یک در فضای سه‌بعدی، یک شاخص و 3 مؤلفه دارد. در واقع، تانسورها تعمیمی از اسکالرها (که بدون شاخص هستند)، بردارها (که یک شاخص دارند) و ماتریس‌ها (که دو شاخص دارند) با تعداد دلخواهی از شاخص‌ها هستند. برای مثال، همان‌گونه که در شکل زیر می‌­بینید، بردار، ماتریس و تانسور ۶4 مؤلفه دارند که این مؤلفه­‌ها در تانسور به‌صورت سه‌بعدی هستند. از این رو می­‌توان گفت تانسورها آرایه­‌های چندبعدی دارند. نمادگذاری یک تانسور شبیه ماتریس است (یعنی $$A={a_{ij} }$$)، البته تانسور می‌..

توضیحات بیشتر »

مشتق مراتب بالاتر — از صفر تا صد

قبلاً در مجموعه آموزش‌های ریاضیات مجله فرادرس، مفاهیم مربوط به مشتق را بیان کردیم. در این آموز‌ش‌ها، مباحثی مانند مشتق ضمنی، مشتق جزئی و مشتق زنجیره‌ای بحث شد. در این آموزش، مشتق مراتب بالاتر را برای توابع صریح، ضمنی و پارامتری معرفی می‌کنیم. همچنین، مثال‌های مختلفی را برای آشنایی با حالت‌های مختلف ارائه خواهیم کرد. مشتقات مراتب بالاتر یک تابع صریح فرض کنید تابع $$y = fleft( x right)$$، مشتق کران‌دار $$f’left( x right)$$ را در بازه مشخص $$left( {a,b} right)$$ داشته باشد، یعنی مشتق $$f’left( x right)$$ نیز یک تابع در این بازه باشد. اگر تابع $$f’left( x right)$$ مشتق‌پذیر باشد، می‌توان مشتق دوم تابع اصلی $$f(x)$$ را پیدا کرد و آن را به‌صورت زیر نشان داد: $$large {f^{primeprime} = left({f^prime}right)^prime = {left( {frac{{dy}}{{dx}}} right)^prime } }={ frac{d}{{dx}}left( {frac{{dy}}{{dx}}} right) }={ frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}}.}$$ به‌طور مشابه، اگر $$f^{primeprime}$$ وجود داشته باشد و مشتق‌پذیر باشد، مشتق سوم تابع $$f(x)$$ به‌صورت زیر است: $$large {f^{prim..

توضیحات بیشتر »

انتگرال توابع هیپربولیک — از صفر تا صد

در آموزش‌های قبلی از مجموعه آموزش‌های ریاضیات مجله فرادرس، توابع هذلولوی یا هیپربولیک و مشتق آن‌ها را بررسی کردیم. در این آموزش، انتگرال توابع هیپربولیک را با ارائه چند مثال توضیح می‌دهیم. همان‌گونه که در آموزش‌های قبلی دیدیم، شش تابع اصلی هیپربولیک به‌صورت زیر تعریف می‌شوند: $$large cosh x = largefrac{{{e^x} + {e^{ – x}}}}{2}normalsize$$ $$large sinh x = largefrac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{2}normalsize$$ $$large coth x = largefrac{{cosh x}}{{sinh x}}normalsize = largefrac{{{e^x} + {e^{ – x}}}}{{{e^x} – {e^{ – x}}}}normalsize$$ $$large tanh x = largefrac{{sinh x}}{{cosh x}}normalsize = largefrac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{{{e^x} + {e^{ – x}}}}normalsize$$ $$large text{csch},x = largefrac{1}{{sinh x}}normalsize = largefrac{2}{{{e^x} – {e^{ – x}}}}normalsize$$ $$large text{sech},x = largefrac{1}{{cosh x}}normalsize = largefrac{2}{{{e^x} + {e^{ – x}}}}normalsize$$ فرمول‌های مشتق و انتگرال توابع هیپربولیک در جدول زیر آورده شده است: انتگرال مشتق $..

توضیحات بیشتر »

کاهش مرتبه معادلات دیفرانسیل — از صفر تا صد

در آموزش‌های پیشین مجله فرادرس، درباره معادلات دیفرانسیل بحث کردیم و با روش‌های حل معادلات دیفرانسیل مرتبه اول و مرتبه دوم آشنا شدیم. در این آموزش، ابزار کاهش مرتبه معادلات دیفرانسیل را بررسی می‌کنیم. یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم به‌فرم عمومی زیر نوشته می‌شود: $$Fleft( {x,y,y’,y^{primeprime}} right) = 0$$ که در آن، $$F$$ تابعی از آرگومان‌های داده‌ شده است. اگر معادله دیفرانسیل برای مشتق دوم $$y^{primeprime}$$ قابل تجزیه باشد، می‌توان آن را به‌فرم صریح زیر نمایش داد: $$y^{primeprime} = fleft( {x,y,y’} right).$$ در حالت‌های خاص، ممکن است تابع $$f$$ فقط شامل یک یا دو متغیر باشد. این معادلات ناکامل یا ناقص، پنج نوع مختلف دارند: $${y^{primeprime} = fleft( x right),;;}kern-0.3pt {y^{primeprime} = fleft( y right),;;}kern-0.3pt {y^{primeprime} = fleft( {y’} right),;;}kern-0.3pt {y^{primeprime} = fleft( {x,y’} right),;;}kern-0.3pt {y^{primeprime} = fleft( {y,y’} right).}$$ با استفاده از تغییر متغیرهای مشخص، می‌توان معادلات فوق را به معادلات مرت..

توضیحات بیشتر »

دوگانگی موج و ذره — به زبان ساده

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، به بررسی طیف اتمی پرداختیم. در این آموزش، مفاهیم مربوط به «دوگانگی موج و ذره» (Wave-Particle Duality) را بیان می‌کنیم. دوگانگی موج و ذره نیوتن و بیشتر دانشمندان هم دوره او، نور را به فرم ذره می‌دیدند. از نظر نیوتن، نور، به صورت گوی‌ها یا ذرات کوچکی بود. به بیان نیوتن، ذرات، پس از برخورد به بعضی اجسام منحرف می‌شوند، اما از برخی اجسام دیگر عبور می‌کنند. این رفتار، از قانون مکانیک نیوتن تبعیت می‌کند و به نام «نظریه ذره‌ای نور» (Corpuscular Theory) شناخته می‌شود. نور تنها در خط مستقیم حرکت می‌کند، بنابراین برای نیوتن طبیعی بود نور را به صورت ذره‌های بسیار کوچک در نظر بگیرد که از یک منبع نوری منتشر و از اشیا مختلف منعکس می‌شدند. اما یک گروه از فیزیکدان‌ها، از جمله هویگنس تصمیم گرفتند که مدل را پیچیده‌تر کنند. این گروه بیان کردند که بیان کلاسیک نور (که «نور هندسی» (Geometrical Optics) نامیده می‌شد) نمی‌تواند پدیده‌هایی مثل انعکاس یا تداخل را توضیح دهد. از طرف دیگر، تئوری موجی نور، نمی‌تواند توضیح دهد که چرا نور در برخورد با فلز از خود فوتون آزاد می‌کند. این پ..

توضیحات بیشتر »