خانه / بایگانی برچسب: علوم پایه (صفحه 4)

بایگانی برچسب: علوم پایه

قاعده ذوزنقه ای — به زبان ساده

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، درباره انتگرال و روش‌های محاسبه آن بحث کردیم. در این آموزش‌ها، مباحثی مانند انتگرال توابع مثلثاتی، انتگرال‌گیری جزء به جزء، انتگرال دوگانه و انتگرال سه‌گانه را معرفی کردیم. همچنین با تغییر متغیر و کاربرد آن در انتگرال‌گیری آشنا شدیم. گاهی می‌خواهیم ناحیه بین یک منحنی و محور مختصات را محاسبه کنیم، اما نمی‌توانیم حاصل انتگرال مربوط به محاسبه مساحت منحنی را به راحتی و با محاسبه تحلیلی به دست آوریم. یکی از راه‌هایی که در این مواقع وجود دارد، استفاده از روش‌های عددی برای محاسبه انتگرال منحنی است. قبلاً با یکی از این روش‌ها، یعنی قاعده سیمپسون آشنا شدیم. در این آموزش، قاعده ذوزنقه ای برای محاسبه انتگرال را معرفی می‌کنیم. قاعده ذوزنقه ای اساس روش قاعده ذوزنقه‌ای این است که منحنی را به ذوزنقه‌هایی تقسیم کرده، مساحت همه آن‌ها را به دست آورده و در نهایت برای تعیین مساحت تقریبی نهایی با هم جمع کنیم. شکل زیر، این موضوع را نشان می‌دهد. ذوزنقه شکل زیر را در نظر بگیرید. مساحت هر ذوزنقه برابر است با: $$ large displaystyle text{A} = frac { h } { { 2 } } { left ..

توضیحات بیشتر »

نرخ تغییرات در ریاضی — به زبان ساده

در این قسمت قصد داریم تا در مورد یکی‌ از مهم‌ترین کاربرد‌های مشتق صحبت کنیم. در حقیقت این کاربرد در محاسبه نرخ تغییرات یک کمیت است. کمیت متغیر می‌تواند نیرو، جرم سوخت در معادله موشک یا هر پارامتر دیگری باشد. به منظور درک بهتر پیشنهاد می‌شود مطالب مفاهیم تابع و ماکزیمم و مینیمم تابع را مطالعه فرمایید. نرخ تغییرات همان‌طور که پیش‌تر نیز بیان شد، $$ f ^ { prime } left ( x right ) $$ نشان دهنده نرخ تغییرات تابع $$f ( x ) $$ است. بنابراین اگر این تابع نشان دهنده مقدار حجم آب در یک مخزن باشد، مشتق زمانی آن می‌تواند به ما دبی آب وارد شده به مخزن را نشان دهند. یا ممکن است این تابع نشان دهنده ارتفاع یک فضاپیما باشد، بنابراین مشتق آن به ما سرعت عمودی این فضاپیما را نشان می‌دهد. این مطلب چیزی نیست جز مثال‌هایی از محاسبه نرخ تغییرات. از این رو در ادامه مثال‌هایی ارائه شده که در آن‌ها نحوه بدست آوردن نرخ تغییرات تابع توضیح داده شده است. مثال 1 تابع زیر در چه نقاطی تغییر نمی‌کند؟ $$ large g left ( x right ) = 5 – 6 x – 10 cos left ( { 2 x } right ) $$ در اولین گام باید مشتق تابع فوق را ..

توضیحات بیشتر »

آزمون ریشه — به زبان ساده

پیش‌تر در وبلاگ فرادرس مفاهیم مربوط به سری و روش‌های تشخیص وضعیت همگرایی را مورد بررسی قرار دادیم. از این رو در این مطلب قصد داریم تا آزمونی جدید به منظور بررسی وضعیت همگرایی را مورد بررسی قرار دهیم. این آزمون تحت عنوان آزمون ریشه شناخته می‌شود. البته در صورت علاقه‌مندی می‌توانید مطلب آزمون انتگرال را نیز مطالعه فرمایید. آزمون ریشه فرض کنید می‌خواهیم وضعیت همگرایی سری $$ large sum { { a _ n } } $$ را مشخص کنیم. در این صورت در ابتدا حد زیر را محاسبه می‌کنیم (این که مقدار $$n$$ از چه عددی شروع شود در کلیت مسأله تغییری ایجاد نخواهد کرد). $$ large L = mathop { lim } limits _ { n to infty } sqrt [ n ] { { left| { { a _ n } } right| } } = mathop { lim } limits _ { n to infty } { left| { { a _ n } } right| ^ { frac { 1 } { n} } } $$ بسته به این که عدد $$L$$ چه مقداری باشد، هریک از نتایج زیر را می‌توان گرفت: اگر $$ large L 1 $$ باشد، آن‌گاه سری واگرا است. اگر $$ large L = 1 $$ باشد، آن‌گاه سری می‌تواند هم..

توضیحات بیشتر »

معادله لاگرانژ — به زبان ساده

در آموزش‌های پیشین مجله فرادرس، درباره معادلات دیفرانسیل بحث و روش‌های حل معادلات دیفرانسیل مرتبه اول را بررسی کردیم. معادله لاگرانژ نوع خاصی از معادلات دیفرانسیل مرتبه اول است که در این آموزش به معرفی آن می‌پردازیم. معادله لاگرانژ معادله‌ای به فرمِ زیر را در نظر بگیرید: $$ large y = x varphi left ( { y ’ } right ) + psi left ( { y ’ } right ) $$ که در آن، $$ varphi left( {y’} right) $$ و $$ psi left( {y’} right) $$ توابعی معلوم و در بازه‌ای مشخص مشتق‌پذیرند. این معادله، «معادله لاگرانژ» (Lagrange Equation) نامیده می‌شود. با قرار دادن $$ y’ = p $$ و مشتق‌گیری نسبت به $$x$$، جواب عمومی معادله به فرم پارامتری زیر است:‌ $$ large left{ begin {array} {l} x = f left ( { p , C } right) \ y = f left ( { p , C } right ) varphi left ( p right ) + psi left ( p right ) end{array} right . $$ به شرط اینکه: $$ large varphi left ( p right ) – p ne 0 $$ که در آن، $$p$$ یک پارامتر است. اگر شرط $$ varphi left ( p right ) – p ne 0 $$ نقض شود، ممکن است معادله..

توضیحات بیشتر »

تبدیل لاپلاس معکوس — به زبان ساده

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، درباره تبدیل لاپلاس و خواص آن و همچنین کاربردهای تبدیل لاپلاس در مدار بحث کردیم. در این آموزش قصد داریم درباره تبدیل لاپلاس معکوس صحبت کنیم. تبدیل لاپلاس معکوس فرض کنید تابع $$F(s)$$، یک تابع مشخص و معلوم باشد. این پرسش مطرح می‌شود که چگونه می‌توان از تابع تبدیل لاپلاس در حوزه فرکانس به تابع اصلی $$f(t)$$ در حوزه زمان رسید. فرض کنید که در حالت کلی تابع $$F(s)$$ به فرم زیر باشد: معادله (1) در این معادله، $$N(s)$$ چندجمله‌ای صورت و $$D(s)$$ چند جمله‌ای مخرج است. ریشه‌های معادله $$N(s)=0$$، صفرهای تابع $$F(s)$$ نامیده می‌شوند. به همین ترتیب، ریشه‌های معادله $$D(s)=0$$، قطب‌های تابع $$F(s)$$ نامیده می‌شوند. تابع $$F(s)$$، تبدیل لاپلاس یک تابع مشخص است و الزما تابع تبدیل شبکه نیست. برای یافتن تبدیل لاپلاس معکوس معادله (1)، از «بسط کسر جزئی» (Partial Fraction Expansion) استفاده می‌شود. به این ترتیب، تابع $$F(s)$$ به عبارت‌های ساده‌تری تبدیل می‌شود و «معکوس تبدیل لاپلاس» (Inverse Laplace Transform) به آسانی قابل محاسبه خواهد بود. روش‌های پیدا کردن تبدیل لاپ..

توضیحات بیشتر »

انتگرال فوریه — به زبان ساده

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، درباره سری فوریه و تبدیل فوریه صحبت کردیم. در این آموزش، به بررسی انتگرال فوریه یا فرم انتگرالی سری فوریه می‌پردازیم. سری فوریه در آموزش مربوط به سری فوریه مختلط، دیدیم که می‌توان سری فوریه را به فرم مختلط زیر نوشت: معادله (1) که در آن: معادله (2) همچنین: معادله (3) از سه معادله گفته شده در بالا، می‌توان فرم صریح انتگرال فوریه را محاسبه کرد. انتگرال فوریه ابتدا توابع زیر را تعریف می‌کنیم: معادله (4) بنابراین، می‌توان معادله (1) را به فرم زیر نوشت: معادله (۵) که در آن: معادله (۶) در معادله (۵)، از رابطه زیر استفاده شده است: معادله (3) را می‌توان به شکل زیر بازنویسی کرد: معادله (۷) حال فرض کنید $$l$$ به سمت بی‌نهایت میل کند، یعنی: $$l to + infty$$ بنابراین سمت راست معادله (۶) و همچنین سمت چپ معادله (۷)، به انتگرال‌هایی از $$-infty$$ تا $$+ infty$$ تبدیل می‌شوند. فرض می‌شود: $$Delta omega _n to + 0$$ پس «جمع ریمانی» (Riemann sum)، در سمت راست معادلات (۵) و (۷)، تبدیل به انتگرال می‌شود. می‌توان معادله (۵) را به صورت زیر بازنویسی کرد: م..

توضیحات بیشتر »

سری فوریه مختلط — به زبان ساده

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس درباره سری فوریه و تبدیل فوریه صحبت کردیم. در این آموزش به بررسی سری فوریه مختلط خواهیم پرداخت. معادله اویلر معادله اویلر، یک تابع نمایی را به جمع توابع و سینوسی و کسینوسی تبدیل می‌کند: $$Large e^{i theta} = cos theta + i sin theta$$ که در آن، $$i$$ واحد موهومی است ($$i^2 =-1 $$). می‌توان توابع مثلثاتی را با نمایش توابع نمایی مختلط جایگزین کرد: $$Large cos theta = frac{e^{i theta}+e^{-i theta}}{2}=frac{1}{2} e^{i theta} + frac{1}{2} e^{-i theta}$$ $$Large sin theta = frac{e^{i theta }- e^{-i theta}}{2i} = -frac{1}{2} e^{i theta} + frac{1}{2} i e^{-i theta}$$ اگر از $$e^{i theta}$$ به جای توابع $$cos theta$$ و $$ sin theta$$ استفاده کنیم، روابط ساده‌تر خواهند شد. در جدول زیر، چند نمونه نشان داده شده است: استفاده از توابع $$sin theta$$ و $$cos theta$$ $$e^{i theta}$$ استفاده از $$cos (theta + phi) = cos theta cos phi – sin theta sin phi $$ $$e^{i(theta + phi)} = e^{i theta} e^{i phi}$$ $$cos theta cos phi – sin ..

توضیحات بیشتر »

فرمول لایب نیتس برای مشتق — به زبان ساده

در آموزش‌های قبلی از مجموعه آموزش‌های ریاضیات مجله فرادرس، مفاهیم مربوط به مشتق را بیان کردیم. در این آموز‌ش‌ها، مباحثی مانند مشتق ضمنی، مشتق جزئی و مشتق زنجیره‌ای بحث شد. همچنین، روش محاسبه مشتق مراتب بالاتر را برای توابع صریح، ضمنی و پارامتری با ارائه مثال‌های مختلف توضیح دادیم. در این آموزش، کاربرد «فرمول لایب نیتس» (Leibniz Formula) برای مشتقات مرتبه بالای ضرب دو تابع را با ارائه مثال‌های متنوع بیان خواهیم کرد. فرمول لایب نیتس با استفاده از فرمول لایبنیتس، می‌توان مشتق مرتبه $$n$$اُم ضرب دو تابع را به‌دست آورد. فرض کنید مشتق‌های توابع $$u(x)$$ و $$v(x)$$ تا مرتبه $$n$$ موجود باشند. مشتق زنجیره‌ای مرتبه اول ضرب این دو تابع، به‌صورت زیر تعریف می‌شود: $$ large {left( {uv} right)^prime } = u’v + uv’. $$ اگر یک بار دیگر از رابطه اخیر مشتق بگیریم، داریم: $$ large {{left( {uv} right) ^{primeprime}} = {left[ {{{left( {uv} right)}^prime }} right] ^prime } } = {{left( {u ’v + uv ’} right) ^prime } } = {{left( {u’v} right) ^prime } + {left( {uv’} right)^prime } } ..

توضیحات بیشتر »

رفع ابهام حد — به زبان ساده

در مطالب پیشین فرادرس مفاهیم حد را توضیح دادیم. از این رو در این مطلب قصد داریم تا روش‌های رفع ابهام حد را توضیح داده و مثال‌هایی از آن ارائه دهیم. البته به منظور درک بهتر پیشنهاد می‌شود مطالب حد، پیوستگی، حد بینهایت و قاعده هوپیتال را مطالعه فرمایید. رفع ابهام حد $$ largefrac {0}{0}normalsize $$ فرض کنید توابع f و g در نقطه مشخصی همچون a دارای حد باشند. هم‌چنین اندازه حد در این نقاط را به صورت زیر برابر با صفر در نظر بگیرید. $$ Large { lim limits _ { x to a } f left ( x right ) = 0 ; ; ; } kern-0.3pt {text {and} ; ; lim limits _ { x to a } g left ( x right ) = 0 } $$ با فرض فوق، حاصل حد تابع $$ large large frac { { f left ( x right ) } } { { g left ( x right ) } } normalsize $$ در نقطه x=a به صورت $$ large frac { 0 } { 0 } $$ در خواهد آمد. بنابراین این حد در نقطه x=a مبهم بوده و باید آن را رفع ابهام کرد. در چنین مواردی باید عامل صفر شونده را از مخرج و صورت حذف کرد. با استفاده از قواعدی همچون هوپیتال، می‌توان عامل صفر کننده را حذف کرد. البته در این مثا..

توضیحات بیشتر »

مفاهیم مقدماتی حسابان (بخش پنجم) — به زبان ساده

در بخش قبلی این سری مطالب آموزش مفاهیم مقدماتی حسابان به جمع‌بندی درک شهودی مطرح شده از حسابان پرداختیم. بدین ترتیب ابتدا با استفاده از بینش شهودی خود متوجه شدیم که می‌توانیم یک دایره را به قطعاتی تقسیم کنیم تا مساحت آن را ساده‌تر به دست آوریم. سپس دایره را به حلقه‌هایی از مرکز به سمت بیرون تقسیم کردیم. این وضعیت در تصویر زیر قابل مشاهده است: همچنین متوجه شدیم که توصیف رسمی این کار که انتگرال نام دارد به صورت زیر است: 2 ضرب در عدد پی ضرب در r ضرب در dr را از r=0 تا r=r جمع بزن. معادل انگلیسی این تعریف به صورت زیر است: integrate 2 * pi * r * dr from r=0 to r=r باید بدانید که تعریف رسمی ما از این محاسبه آن قدر دقیق است که می‌توانیم با ارائه آن به یک رایانه انتظار داشته باشیم مسئله ما را حل کند. برای نمونه در تصویر زیر از موتور دانش محاسباتی wolframalpha برای حل این مسئله استفاده کرده‌ایم: بنابراین همان طور که می‌بینید ما موفق شده‌ایم تفکر شهودی خود را چنان جمع‌بندی و بیان کنیم که یک رایانه بتواند منطق کار را اجرا کند. بدین ترتیب دیگر لازم نیست حلقه‌های یک دایره را به صورت دستی باز..

توضیحات بیشتر »