خانه / بایگانی برچسب: علوم پایه

بایگانی برچسب: علوم پایه

تابع لیاپانوف (Lyapunov Function) — از صفر تا صد

در راستای ارائه مفاهیم مرتبط با پایداری و کنترل، در این مطلب قصد داریم تا در مورد تابع لیاپانوف و کاربرد‌های آن صحبت کنیم. البته پیشنهاد می‌شود ابتدا به ساکن مطالب مفاهیم پایداری و اعداد مختلط را مطالعه فرمایید. مقدمه تابع لیاپانوف، تابعی اسکالر است که روی فضای فازی تعریف می‌شود. از این تابع به منظور بررسی پایداری یک نقطه استفاده می‌شود. روش تابع لیاپانوف در بررسی پایداری بسیاری از معادلات دیفرانسیل و سیستم‌ها کاربرد دارد. در ابتدا سیستمی «خودگردان» (Autonomous) را به صورت زیر در نظر بگیرید. $$ large { { mathbf { X ^ { prime } } = mathbf { f } left ( mathbf { X } right);;text{or};;} kern-0.3pt { frac { { d { x _i } } } { { d t} } = { f _ i } left( { { x_ 1 } , { x _2 } , ldots ,{x_n}} right),;;}kern-0.3pt { i = 1,2, ldots ,n,} } $$ که نقطه پایدار آن، $$ X ≡ 0 $$ است. فرض بر این است که تابعی پیوسته و مشتق‌پذیر به صورت زیر، در همسایگی $$U$$ به ما داده شده است. $$large V left ( mathbf { X } right ) = V left ( { { x_ 1 }, { x _2 } , ldots , { x _n } } right ..

توضیحات بیشتر »

مفاهیم پایداری — از صفر تا صد

در مطالب گذشته وبلاگ فرادرس در مورد حل دستگاه معادلات دیفرانسیل و هم‌چنین سیستم‌های ارتعاشی صحبت کردیم. یک سیستم ارتعاشی می‌تواند پایدار باشد و یا با گذشت زمان ناپایدارتر شود. از طرفی معادله دیفرانسیل حاکم بر یک سیستم می‌تواند نشان دهنده وضعیت پایداری یا ناپایداری چنین سیستمی باشد. از این رو در این مطلب قصد داریم تا در مورد مفاهیم پایداریِ سیستمی از معادلات دیفرانسیل صحبت کرده و مثال‌هایی را نیز از آن ارائه دهیم. سیستم دستگاه معادلات فرض کنید سیستمی با استفاده از دستگاه معادلات دیفرانسیلی از مرتبه $$ n $$ توصیف شود. شکل کلی این معادلات در ادامه ارائه شده‌اند. $$ large { frac { { d { x _i } } } { { d t } } = { f _ i } left ( { t , { x _ 1 } ,{ x _ 2 } , ldots , { x _ n } } right ) , ;;}kern0pt{i = 1,2, ldots ,n } $$ تعداد معادلات فوق برابر با $$ n $$ است؛ بنابراین به منظور حل آن نیاز است تا از $$ n $$ شرط مرزی یا شرط اولیه استفاده کنیم. در حقیقت این قیود به صورت شرایط اولیه و مطابق با روابط زیر قابل بیان هستند. $$ large { x _ i } left ( { { t _0 } } right ) = { x _..

توضیحات بیشتر »

انتگرال خطی در فیزیک — به زبان ساده

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، درباره انتگرال و روش‌های محاسبه آن بحث کردیم. در این آموزش‌ها، مباحثی مانند انتگرال توابع مثلثاتی، انتگرال‌گیری جزء به جزء، انتگرال دوگانه و انتگرال سه‌گانه را معرفی کردیم. همچنین با انتگرال خطی آشنا شدیم. انتگرال خطی در مباحث مختلف فیزیک کاربرد فراوانی دارد. در این آموزش، چند مورد از مهم‌ترین کاربردهای انتگرال خطی در فیزیک را بررسی می‌کنیم. در فیزیک، از انتگرال­‌های خطی به ویژه برای محاسبه موارد زیر استفاده می‌شود: جرم یک سیم مرکز جرم و گشتاورهای لختی سیم کار انجام شده توسط نیروی وارد بر یک جسم متحرک در یک میدان برداری میدان مغناطیسی حول یک رسانا (قانون آمپر) ولتاژ تولیدی در یک حلقه (قانون القای مغناطیسی فارادی) در ادامه این کاربردها را با جزئیات بیشتر بررسی می‌­کنیم. جرم سیم یک قطعه سیم را در فضای سه­‌بعدی در نظر بگیرید که با منحنی $$C$$ توصیف می‌­شود. جرم بر واحد طول سیم، یک تابع پیوسته به صورت $$ rho left( {x,y,z} right) $$ است. بنابراین، جرم کل سیم از طریق انتگرال خطی تابع اسکالر به صورت زیر بیان می‌­شود: $$ large m = int limits _ C { rho ..

توضیحات بیشتر »

بسط مک لورن — به زبان ساده

در آموزش‌های قبلی از مجموعه مطالب ریاضیات مجله فرادرس، درباره بسط تیلور توابع بحث کردیم. در این آموزش، سری یا بسط مک لورن را معرفی خواهیم کرد که حالت خاصی از بسط تیلور است. بسط تیلور اگر تابع $$ f (x ) $$ پیوسته و $$ (n+1 ) $$ بار مشتق‌پذیر باشد، آنگاه این تابع را می‌توان به صورت زیر بسط داد: $$ large begin {align*} { f left ( x right ) } & = { sum limits _ { n = 0 } ^ infty { { f ^ { left ( n right ) } } left ( a right ) frac { { { { left ( { x – a } right ) } ^ n } }} { { n ! } } } } \ & = { f left ( a right ) + f ’ left ( a right ) left ( { x – a } right ) } + { frac { { f ^ { prime prime } left ( a right ){ { left ( { x – a } right ) } ^ 2 } } } { { 2 ! } } + ldots } \ & , , , , , , , , + { frac { { { f ^ { left ( n right ) } } left ( a right ) { { left ( { x – a } right ) } ^ n } } } { { n ! }} } + { { R _ n } } end {align*} $$ که در آن، $$ R_n$$ باقیمانده بعد از $$ n + 1 $$ جمله نامیده و به صورت زیر بیان می‌شود: $$ large { { R _ ..

توضیحات بیشتر »

ک م م یا کوچکترین مضرب مشترک چیست؟ — به زبان ساده

در آموزش‌های قبلی از مجموعه مطالب ریاضی مجله فرادرس، درباره تجزیه اعداد به عوامل اول بحث کردیم. در این آموزش، مفهوم «کوچکترین مضرب مشترک» (Least Common Multiple) یا ک م م یا LCM و نحوه محاسبه آن را بررسی می‌کنیم. مضرب چیست؟ اگر عددی را در یک عدد غیرصفر دیگر مانند 1، 2، 3، 4، 5 و… ضرب کنیم، مضرب آن به دست می‌آید. برای مثال، مضارب اعداد 4 و ۵ به‌صورت زیر هستند: مضرب مشترک چیست؟ مضرب مشترک دو یا چند عدد، مضاربی هستند که بین آن اعداد مشترک باشند. در قسمت قبل، مضارب اعداد 4 و ۵ را نوشتیم. مضارب مشترک این دو عدد، در زیر مشخص شده‌اند: همان‌طور که می‌بینیم، اعداد 20، 40، 60 و… مضارب مشترک این دو عدد هستند. کوچکترین مضرب مشترک چیست؟ ساده‌ترین راه برای محاسبه کوچکترین مضرب مشترک، نوشتن مضارب مشترک و انتخاب کوچکترین آن‌ها است. ک م م – همان‌گونه که از نامش پیداست – کوچکترین مضربی است که بین اعداد مورد نظر مشترک باشد. مثلاً برای اعداد 4 و ۵ که در بالا به آن اشاره شد، اگر بخواهیم کوچکترین مضرب مشترک را از بین مضارب مشترک 20، 40، 60 و… تعیین کنیم، عدد 20 را در نظر می‌گیریم که از همه مضارب مشترک..

توضیحات بیشتر »

عملگر دیفرانسیلی — از صفر تا صد

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، با معادلات دیفرانسیل آشنا شدیم. در این آموزش‌ها، روش‌های حل معادلات دیفرانسیل مرتبه اول، معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم و معادلات مرتبه بالاتر را معرفی کردیم. همچنین به روش حل معادلات خاص، مانند معادله لاگرانژ و معادله کلرو پرداختیم. در این آموزش، یکی از ابزارهای حل معادلات دیفرانسیل،‌ یعنی «عملگر دیفرانسیلی» (Differential Operator) را معرفی می‌کنیم. تعریف عملگر دیفرانسیلی عملگرها یا اپراتورهای دیفرانسیلی، تعمیمی از عملیات مشتق‌گیری هستند. ساده‌ترین عملگر دیفرانسیلی $$D$$ روی تابع $$y$$ عمل کرده و مشتق اول آن را نتیجه می‌دهد: $$ large D y left ( x right ) = y ’ left ( x right ) . $$ دو بار اعمال $$D$$ منجر به مشتق دوم $$y(x)$$ می‌شود: $$ large { { D ^ 2 } y left ( x right ) = D left ( { D y left ( x right ) } right ) } = { D y ’ left ( x right ) } = { y ^ { prime prime } left ( x right ) . } $$ به طریق مشابه، توان $$n$$اُم $$D$$، مشتق مرتبه $$n$$‌ را به دست می‌دهد: $$ large { D ^ n } y left ( x right ) = { y ^ { left ( n right ) ..

توضیحات بیشتر »

محاسبه حجم با انتگرال سه گانه — به زبان ساده

یکی از کاربرد‌های مهم انتگرال سه‌گانه محاسبه حجم یک ناحیه است. بنابراین در این مطلب قصد داریم تا در قالب مثال نحوه محاسبه حجم با انتگرال سه گانه را توضیح دهیم. روش محاسبه حجم در حالت کلی ناحیه‌ای سه‌بعدی هم‌چون $$ large U $$ را در نظر بگیرید. حجم این ناحیه در مختصات کارتزینی برابر است با: $$ large V = iiint limits_U { d x d y d z} $$ این حجم را می‌توان با استفاده از مختصات استوانه‌ای، به صورت زیر نیز محاسبه کرد. $$ large V = iiint limits _ U { rho d rho d varphi d z } $$ به همین صورت رابطه محاسبه حجم در مختصات کروی به صورت زیر خواهد بود. $$ large V = iiint limits _ U { { rho ^ 2 } sin theta d rho d varphi d theta } $$ در ادامه مثال‌هایی ارائه شده که در آن‌ها این روش‌ها توضیح داده شده‌اند. مثال 1 حجم کره‌ای به ارتفاع $$H$$ و شعاع قاعده $$R$$ را بیابید. همان‌طور که در شکل زیر نیز می‌توان دید، این مخروط توسط دو صفحه زیر محدود شده‌اند. $$ large z = { large frac { H } { R} normalsize} sqrt { { x ^ 2 } + { y ^ 2 } } , z = H $$ حجم ناحیه فوق را می‌توان به ص..

توضیحات بیشتر »

آینه مقعر در فیزیک — به زبان ساده

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، درباره آینه تخت در فیزیک بحث کردیم. در این آموزش، به بررسی آینه مقعر یا کاو می‌پردازیم. آینه‌های کروی بیشتر ما از دیدن تصویرهای عجیب و غریب در آینه‌های منحنی شگفت‌زده شده‌ایم. یک نوع از آینه‌های منحنی، «آینه‌های کروی» (Spherical Mirrors) هستند. این آینه‌ها، بخشی از سطح یک کره هستند. هنگامی که سطح داخلی آینه جیوه اندود باشد، آینه محدب یا «کوژ» (Convex Mirrors) تشکیل می‌شود. به عبارت دیگر در آینه کوژ یا محدب، سطح خارجی کره انعکاس دهنده نور یا «سطح انعکاس دهنده» (Reflecting Surface) است. به همین ترتیب هنگامی که سطح خارجی آینه جیوه اندود باشد، آینه مقعر یا «کاو» (Concave Mirrors) تشکیل می‌شود. به عبارت دیگر در آینه کاو یا مقعر سطح داخلی کره، انعکاس دهنده نور یا سطح انعکاس دهنده است. تقارن یکی از اصول اساسی در بسیاری از قطعات نوری مثل آینه‌ها و لنزها است. آینه کروی با بریدن قطعه‌ای از کره و نقره یا جیوه اندود کردن داخل یا خارج کره، تشکیل می‌شود. محور تقارن برای المان‌های نوری، معمولا به نام «محور اصلی» (Principal Axis) یا «محور نوری» (Optical Axis) شناخته ..

توضیحات بیشتر »

سرعت زاویه ای — به زبان ساده

در مطالب گذشته وبلاگ فرادرس روابط حاکم بر حرکت دایره‌ای را توضیح دادیم. اما در این مطلب قصد داریم تا مشخصا در مورد مفاهیم و روابط حاکم بر سرعت زاویه ای صحبت کنیم. البته به منظور درک بهتر پیشنهاد می‌شود مطالب بردار و اسکالر، قانون دست راست و ضرب خارجی را مطالعه فرمایید. مقدمه همان‌طور که احتمالا می‌دانید سرعت زاویه‌ای، نشان دهنده میزان زاویه‌ پیموده شده یک جسم یا ذره بر واحد زمان است. بنابراین سرعت زاویه‌ ای می‌تواند بر حسب رادیان بر زمان (ثانیه، دقیقه، ساعت و …)، دور بر زمان یا درجه بر زمان بیان شود. توجه داشته باشید که سرعت زاویه‌ای، یک بردار بوده که می‌تواند جهت آن نیز با زمان تغییر کند. از این رو مشتق آن را نمی‌توان به راحتی و همچون یک تابع اسکالر بدست آورد. سرعت زاویه‌ای زمین به دور خودش برابر با 3 دور بر دقیقه است. سرعت زاویه‌ای و سرعت خطی پیش‌تر بیان کرده بودیم که برای حرکتی با سرعت خطی ثابت، اندازه سرعت زاویه‌ای برابر است با: $$ large omega = frac{ theta }{ t } $$ در رابطه فوق $$ large theta $$ نشان دهنده سرعت زاویه‌ ای و $$t$$ نشان دهنده مدت زمانی است که حرکت دایره‌ای..

توضیحات بیشتر »

دستگاه معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب متغیر — از صفر تا صد

در مطالب قبلی از مجموعه آموزش‌های ریاضیات مجله فرادرس، درباره دستگاه معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب ثابت بحث کردیم. در این آموزش، روش حل دستگاه معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب متغیر را بررسی می‌کنیم. دستگاه معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب متغیر یک دستگاه معادلات دیفرانسیل معمولی با ضرایب متغیر، به‌صورت زیر نوشته می‌شود: $$ large { frac { { d { x _ i } } } { { d t } } = { x ’ _ i } } = { sum limits_{ j = 1 } ^ n { { a _ { i j } } left( t right) { x _ j } left( t right)} + { f _ i }left( t right),;;}kern-0.3pt { i = 1,2, ldots ,n,} $$ که در آن، $$ {{x_i}left( t right)} $$ توابع مجهولی هستند که در بازه $$ left[ { a , b } right] $$ پیوسته و مشتق‌پذیرند. ضرایب $$ {{a_{ij}}left( t right)} $$ و جملات آزاد $$ {f_i}left( t right) $$، توابعی پیوسته در بازه $$ left[ { a , b } right] $$ هستند. دستگاه معادلات را به‌صورت ماتریسی-برداری زیر می‌نویسیم: $$ large { { mathbf{X}}left( t right) } = { A left( t right) { mathbf{X}}left( t right) + { mathbf{f}} left( t r..

توضیحات بیشتر »