خانه / بایگانی برچسب: ریاضی

بایگانی برچسب: ریاضی

تابع لیاپانوف (Lyapunov Function) — از صفر تا صد

در راستای ارائه مفاهیم مرتبط با پایداری و کنترل، در این مطلب قصد داریم تا در مورد تابع لیاپانوف و کاربرد‌های آن صحبت کنیم. البته پیشنهاد می‌شود ابتدا به ساکن مطالب مفاهیم پایداری و اعداد مختلط را مطالعه فرمایید. مقدمه تابع لیاپانوف، تابعی اسکالر است که روی فضای فازی تعریف می‌شود. از این تابع به منظور بررسی پایداری یک نقطه استفاده می‌شود. روش تابع لیاپانوف در بررسی پایداری بسیاری از معادلات دیفرانسیل و سیستم‌ها کاربرد دارد. در ابتدا سیستمی «خودگردان» (Autonomous) را به صورت زیر در نظر بگیرید. $$ large { { mathbf { X ^ { prime } } = mathbf { f } left ( mathbf { X } right);;text{or};;} kern-0.3pt { frac { { d { x _i } } } { { d t} } = { f _ i } left( { { x_ 1 } , { x _2 } , ldots ,{x_n}} right),;;}kern-0.3pt { i = 1,2, ldots ,n,} } $$ که نقطه پایدار آن، $$ X ≡ 0 $$ است. فرض بر این است که تابعی پیوسته و مشتق‌پذیر به صورت زیر، در همسایگی $$U$$ به ما داده شده است. $$large V left ( mathbf { X } right ) = V left ( { { x_ 1 }, { x _2 } , ldots , { x _n } } right ..

توضیحات بیشتر »

مفاهیم پایداری — از صفر تا صد

در مطالب گذشته وبلاگ فرادرس در مورد حل دستگاه معادلات دیفرانسیل و هم‌چنین سیستم‌های ارتعاشی صحبت کردیم. یک سیستم ارتعاشی می‌تواند پایدار باشد و یا با گذشت زمان ناپایدارتر شود. از طرفی معادله دیفرانسیل حاکم بر یک سیستم می‌تواند نشان دهنده وضعیت پایداری یا ناپایداری چنین سیستمی باشد. از این رو در این مطلب قصد داریم تا در مورد مفاهیم پایداریِ سیستمی از معادلات دیفرانسیل صحبت کرده و مثال‌هایی را نیز از آن ارائه دهیم. سیستم دستگاه معادلات فرض کنید سیستمی با استفاده از دستگاه معادلات دیفرانسیلی از مرتبه $$ n $$ توصیف شود. شکل کلی این معادلات در ادامه ارائه شده‌اند. $$ large { frac { { d { x _i } } } { { d t } } = { f _ i } left ( { t , { x _ 1 } ,{ x _ 2 } , ldots , { x _ n } } right ) , ;;}kern0pt{i = 1,2, ldots ,n } $$ تعداد معادلات فوق برابر با $$ n $$ است؛ بنابراین به منظور حل آن نیاز است تا از $$ n $$ شرط مرزی یا شرط اولیه استفاده کنیم. در حقیقت این قیود به صورت شرایط اولیه و مطابق با روابط زیر قابل بیان هستند. $$ large { x _ i } left ( { { t _0 } } right ) = { x _..

توضیحات بیشتر »

انتگرال خطی در فیزیک — به زبان ساده

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، درباره انتگرال و روش‌های محاسبه آن بحث کردیم. در این آموزش‌ها، مباحثی مانند انتگرال توابع مثلثاتی، انتگرال‌گیری جزء به جزء، انتگرال دوگانه و انتگرال سه‌گانه را معرفی کردیم. همچنین با انتگرال خطی آشنا شدیم. انتگرال خطی در مباحث مختلف فیزیک کاربرد فراوانی دارد. در این آموزش، چند مورد از مهم‌ترین کاربردهای انتگرال خطی در فیزیک را بررسی می‌کنیم. در فیزیک، از انتگرال­‌های خطی به ویژه برای محاسبه موارد زیر استفاده می‌شود: جرم یک سیم مرکز جرم و گشتاورهای لختی سیم کار انجام شده توسط نیروی وارد بر یک جسم متحرک در یک میدان برداری میدان مغناطیسی حول یک رسانا (قانون آمپر) ولتاژ تولیدی در یک حلقه (قانون القای مغناطیسی فارادی) در ادامه این کاربردها را با جزئیات بیشتر بررسی می‌­کنیم. جرم سیم یک قطعه سیم را در فضای سه­‌بعدی در نظر بگیرید که با منحنی $$C$$ توصیف می‌­شود. جرم بر واحد طول سیم، یک تابع پیوسته به صورت $$ rho left( {x,y,z} right) $$ است. بنابراین، جرم کل سیم از طریق انتگرال خطی تابع اسکالر به صورت زیر بیان می‌­شود: $$ large m = int limits _ C { rho ..

توضیحات بیشتر »

بسط مک لورن — به زبان ساده

در آموزش‌های قبلی از مجموعه مطالب ریاضیات مجله فرادرس، درباره بسط تیلور توابع بحث کردیم. در این آموزش، سری یا بسط مک لورن را معرفی خواهیم کرد که حالت خاصی از بسط تیلور است. بسط تیلور اگر تابع $$ f (x ) $$ پیوسته و $$ (n+1 ) $$ بار مشتق‌پذیر باشد، آنگاه این تابع را می‌توان به صورت زیر بسط داد: $$ large begin {align*} { f left ( x right ) } & = { sum limits _ { n = 0 } ^ infty { { f ^ { left ( n right ) } } left ( a right ) frac { { { { left ( { x – a } right ) } ^ n } }} { { n ! } } } } \ & = { f left ( a right ) + f ’ left ( a right ) left ( { x – a } right ) } + { frac { { f ^ { prime prime } left ( a right ){ { left ( { x – a } right ) } ^ 2 } } } { { 2 ! } } + ldots } \ & , , , , , , , , + { frac { { { f ^ { left ( n right ) } } left ( a right ) { { left ( { x – a } right ) } ^ n } } } { { n ! }} } + { { R _ n } } end {align*} $$ که در آن، $$ R_n$$ باقیمانده بعد از $$ n + 1 $$ جمله نامیده و به صورت زیر بیان می‌شود: $$ large { { R _ ..

توضیحات بیشتر »

ک م م یا کوچکترین مضرب مشترک چیست؟ — به زبان ساده

در آموزش‌های قبلی از مجموعه مطالب ریاضی مجله فرادرس، درباره تجزیه اعداد به عوامل اول بحث کردیم. در این آموزش، مفهوم «کوچکترین مضرب مشترک» (Least Common Multiple) یا ک م م یا LCM و نحوه محاسبه آن را بررسی می‌کنیم. مضرب چیست؟ اگر عددی را در یک عدد غیرصفر دیگر مانند 1، 2، 3، 4، 5 و… ضرب کنیم، مضرب آن به دست می‌آید. برای مثال، مضارب اعداد 4 و ۵ به‌صورت زیر هستند: مضرب مشترک چیست؟ مضرب مشترک دو یا چند عدد، مضاربی هستند که بین آن اعداد مشترک باشند. در قسمت قبل، مضارب اعداد 4 و ۵ را نوشتیم. مضارب مشترک این دو عدد، در زیر مشخص شده‌اند: همان‌طور که می‌بینیم، اعداد 20، 40، 60 و… مضارب مشترک این دو عدد هستند. کوچکترین مضرب مشترک چیست؟ ساده‌ترین راه برای محاسبه کوچکترین مضرب مشترک، نوشتن مضارب مشترک و انتخاب کوچکترین آن‌ها است. ک م م – همان‌گونه که از نامش پیداست – کوچکترین مضربی است که بین اعداد مورد نظر مشترک باشد. مثلاً برای اعداد 4 و ۵ که در بالا به آن اشاره شد، اگر بخواهیم کوچکترین مضرب مشترک را از بین مضارب مشترک 20، 40، 60 و… تعیین کنیم، عدد 20 را در نظر می‌گیریم که از همه مضارب مشترک..

توضیحات بیشتر »

عملگر دیفرانسیلی — از صفر تا صد

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، با معادلات دیفرانسیل آشنا شدیم. در این آموزش‌ها، روش‌های حل معادلات دیفرانسیل مرتبه اول، معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم و معادلات مرتبه بالاتر را معرفی کردیم. همچنین به روش حل معادلات خاص، مانند معادله لاگرانژ و معادله کلرو پرداختیم. در این آموزش، یکی از ابزارهای حل معادلات دیفرانسیل،‌ یعنی «عملگر دیفرانسیلی» (Differential Operator) را معرفی می‌کنیم. تعریف عملگر دیفرانسیلی عملگرها یا اپراتورهای دیفرانسیلی، تعمیمی از عملیات مشتق‌گیری هستند. ساده‌ترین عملگر دیفرانسیلی $$D$$ روی تابع $$y$$ عمل کرده و مشتق اول آن را نتیجه می‌دهد: $$ large D y left ( x right ) = y ’ left ( x right ) . $$ دو بار اعمال $$D$$ منجر به مشتق دوم $$y(x)$$ می‌شود: $$ large { { D ^ 2 } y left ( x right ) = D left ( { D y left ( x right ) } right ) } = { D y ’ left ( x right ) } = { y ^ { prime prime } left ( x right ) . } $$ به طریق مشابه، توان $$n$$اُم $$D$$، مشتق مرتبه $$n$$‌ را به دست می‌دهد: $$ large { D ^ n } y left ( x right ) = { y ^ { left ( n right ) ..

توضیحات بیشتر »

فرایند تصادفی (Random Process) — مفاهیم اولیه

در تئوری احتمالات، «فرایند تصادفی» (Random Process)، براساس دنباله‌ای از متغیرهای تصادفی شکل می‌گیرد که برحسب یک شاخص دارای ترتیب رخ‌داد هستند. معمولا این شاخص را اندیس زمانی در نظر می‌گیرند. به این ترتیب مقدار متغیر تصادفی هم به زمان و هم به توزیع احتمالی متغیر تصادفی وابسته است. در بیشتر مواقع، فرایند تصادفی به بررسی پدیده‌های تصادفی می‌پردازد که برحسب زمان اندیس‌گذاری شده‌اند یا به بیان دیگر تغییراتی وابسته به زمان دارند. فرایندهای تصادفی در زمینه‌های مختلف علوم بخصوص در زیست‌شناسی (فرایند رشد باکتری‌ها در طول زمان)، فیزیک (حرکت براونی ملکول‌ها و فیزیک کوانتم) و حتی بازار سهام و تجارت به کار می‌روند. در این نوشتار به معرفی فرایند تصادفی و بعضی از گونه‌های آن خواهیم پرداخت که در شاخه‌های مختلف علم کاربرد دارند. برای درک بهتر این مطلب بهتر است نوشتارهای متغیر تصادفی، تابع احتمال و تابع توزیع احتمال و آزمایش تصادفی، پیشامد و تابع احتمال را از قبل مطالعه کرده باشید. همچنین خواندن مطلب متغیر تصادفی و توزیع نمایی — به زبان ساده نیز خالی از لطف نیست. فرایند تصادفی (Random Process) یک فر..

توضیحات بیشتر »

محاسبه حجم با انتگرال سه گانه — به زبان ساده

یکی از کاربرد‌های مهم انتگرال سه‌گانه محاسبه حجم یک ناحیه است. بنابراین در این مطلب قصد داریم تا در قالب مثال نحوه محاسبه حجم با انتگرال سه گانه را توضیح دهیم. روش محاسبه حجم در حالت کلی ناحیه‌ای سه‌بعدی هم‌چون $$ large U $$ را در نظر بگیرید. حجم این ناحیه در مختصات کارتزینی برابر است با: $$ large V = iiint limits_U { d x d y d z} $$ این حجم را می‌توان با استفاده از مختصات استوانه‌ای، به صورت زیر نیز محاسبه کرد. $$ large V = iiint limits _ U { rho d rho d varphi d z } $$ به همین صورت رابطه محاسبه حجم در مختصات کروی به صورت زیر خواهد بود. $$ large V = iiint limits _ U { { rho ^ 2 } sin theta d rho d varphi d theta } $$ در ادامه مثال‌هایی ارائه شده که در آن‌ها این روش‌ها توضیح داده شده‌اند. مثال 1 حجم کره‌ای به ارتفاع $$H$$ و شعاع قاعده $$R$$ را بیابید. همان‌طور که در شکل زیر نیز می‌توان دید، این مخروط توسط دو صفحه زیر محدود شده‌اند. $$ large z = { large frac { H } { R} normalsize} sqrt { { x ^ 2 } + { y ^ 2 } } , z = H $$ حجم ناحیه فوق را می‌توان به ص..

توضیحات بیشتر »

دستگاه معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب متغیر — از صفر تا صد

در مطالب قبلی از مجموعه آموزش‌های ریاضیات مجله فرادرس، درباره دستگاه معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب ثابت بحث کردیم. در این آموزش، روش حل دستگاه معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب متغیر را بررسی می‌کنیم. دستگاه معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب متغیر یک دستگاه معادلات دیفرانسیل معمولی با ضرایب متغیر، به‌صورت زیر نوشته می‌شود: $$ large { frac { { d { x _ i } } } { { d t } } = { x ’ _ i } } = { sum limits_{ j = 1 } ^ n { { a _ { i j } } left( t right) { x _ j } left( t right)} + { f _ i }left( t right),;;}kern-0.3pt { i = 1,2, ldots ,n,} $$ که در آن، $$ {{x_i}left( t right)} $$ توابع مجهولی هستند که در بازه $$ left[ { a , b } right] $$ پیوسته و مشتق‌پذیرند. ضرایب $$ {{a_{ij}}left( t right)} $$ و جملات آزاد $$ {f_i}left( t right) $$، توابعی پیوسته در بازه $$ left[ { a , b } right] $$ هستند. دستگاه معادلات را به‌صورت ماتریسی-برداری زیر می‌نویسیم: $$ large { { mathbf{X}}left( t right) } = { A left( t right) { mathbf{X}}left( t right) + { mathbf{f}} left( t r..

توضیحات بیشتر »

انحنا و شعاع انحنا — به زبان ساده

در ادامه مجموعه آموزش‌های ریاضیات مجله فرادرس، در این آموزش به مبحث انحنا و شعاع انحنا می‌پردازیم. در ادامه، ابتدا انحنا را تعریف می‌کنیم، سپس نحوه به دست آوردن شعاع انحنا را بیان خواهیم کرد. تعریف انحنا و شعاع انحنا یک منحنی مسطح را در نظر بگیرید که با معادله $$ y = f (x) $$ داده شده است. فرض کنید خط مماس بر منحنی در نقطه $$ M(x , y ) $$ رسم شده باشد. خط مماس، زاویه $$ alpha $$ را با محور افقی می‌سازد (شکل 1). شکل 1 با جابجایی $$ Delta s $$ در طول کمان منحنی، نقطه $$M$$ به سمت نقطه $$ M_1 $$ حرکت خواهد کرد. در این صورت، موقعیت خط مماس نیز تغییر می‌کند؛ زاویه شیب خط مماس بر نقطه $$M_1$$ و محور مثبت $$x$$، $$ alpha + Deltaalpha $$ خواهد بود. بنابراین، با حرکت نقطه به اندازه $$ Delta s $$، خط مماس به اندازه $$ Delta alpha $$ می‌چرخد (فرض شده که وقتی جهت حرکت زاویه $$ alpha $$ پادساعتگرد باشد، افزایشی خواهد بود.) قدر مطلق نسبت $$ largefrac{{Delta alpha }}{{Delta s}}normalsize $$ انحنا یا خمیدگی متوسط کمان $$MM_1 $$ نامیده می‌شود. با حد $$ Delta s to 0 $$، انحنای منحنی ..

توضیحات بیشتر »