خانه / بایگانی برچسب: ریاضیات

بایگانی برچسب: ریاضیات

محاسبات ریاضی با استفاده از تابع های داخلی PHP — به زبان ساده

عملیات مختلف ریاضیات مقدماتی به صورت مکرر در زمان برنامه‌نویسی مورد نیاز هستند. در این موارد، هنگام نوشتن کد باید به طور مکرر مقادیر مختلف را مقایسه، جمع، ضرب، تفریق و تقسیم بکنیم. برخی اوقات عملیات ریاضی مورد نیاز در یک برنامه بسیار پیچیده‌تر از این است. در این موارد باید بتوانید با لگاریتم‌ها، مثلثات یا تابع‌های نمایی کار بکنید. در این راهنما به بررسی شیوه استفاده از هر یک از تابع های داخلی PHP به همراه ارائه مثال‌ها می‌پردازیم. این راهنما به معرفی تابع‌های داخلی ریاضیاتی PHP برای اجرای محاسبات مثلثاتی، نمایی و لگاریتمی اختصاص دارد. همچنین به بررسی روش گرد کردن اعداد و ایجاد اعداد تصادفی می‌پردازیم. تابع‌های مثلثاتی در PHP در زبان برنامه‌نویسی PHP با استفاده از تابع‌های (sin($angle)، cos($angle و (tan($angle می‌توان به ترتیب سینوس، کسینوس و تانژانت زوایای مختلف را که بر اساس رادیان بیان شده‌اند پیدا کرد. همه این تابع‌ها مقادیر float بازمی‌گردانند و مقدار دریافتی آن‌ها باید زاویه بر مبنای رادیان باشد. این بدان معنی است که وقتی مقدار (tan(45 را محاسبه کنیم، مقدار 1 به دست می‌آید، زی..

توضیحات بیشتر »

مساحت سطح حاصل از دوران — به زبان ساده

همانطور که می‌دانید، زمانی که یک منحنی حول محوری دوران کند، سطحی به وجود می‌آید که برای محاسبه مساحت سطح ایجاد شده نیاز به استفاده از روابط و محاسبات مختلفی وجود دارد. بنابراین در این مطلب به دنبال یافتن یک فرمول برای محاسبه مساحت سطح حاصل از دوران یک تابع حول محور مشخصی هستیم. مساحت سطح حاصل از دوران برای به دست آوردن یک فرمول برای مساحت سطح حاصل از دوران تابع، یک تابع پیوسته $$ { y = f left ( x right ) } $$ در بازه $$ { left [ { a , b } right ] } $$ را در نظر می‌گیریم. این تابع حول محور x در حال دوران است. نکته مهمی که باید به آن توجه کرد این است که در شرایط بیان شده، مشتق تابع در بازه $$ { left [ { a , b } right ] } $$ به صورت پیوسته در نظر گرفته می‌شود. شکل زیر نمایی از یک تابع را نشان می‌دهد که حول محور x در حال دوران است. در ادامه ما می‌توانیم مشابه با روشی که در مبحث «طول قوس منحنی»، بیان شد، رابطه‌ای را برای محاسبه مساحت سطح حاصل از دوران به دست بیاوریم. بنابراین در ابتدا، منحنی تابع را به n قسمت مساوی با عرضی برابر با $$ { Delta x } $$ تقسیم می‌کنیم. در ادامه، هرکدام..

توضیحات بیشتر »

نقطه بحرانی در ریاضیات — به زبان ساده

در مطالب قبلی وبلاگ فرادرس، مباحث مختلف مربوط به مشتق، مانند مشتق جزئی به صورت دقیق مورد مطالعه قرار گرفت. با بررسی اکثر مباحث موجود در ریاضیات پایه متوجه می‌شویم که یکی از مباحث بسیار مهم پر کاربرد در ریاضیات، مبحث نقطه بحرانی است. مفهوم نقطه بحرانی در ریاضیات در بسیاری از مسائل ریاضی برای یافتن ماکزیمم و مینیمم توابع مختلف مورد استفاده قرار می‌گیرد. این مطلب به بررسی مفهوم نقطه بحرانی در ریاضیات می‌پردازد. همچنین در ادامه به کمک چندین مثال، شیوه یافتن نقطه بحرانی به صورت دقیق و در حالات مختلف، مورد بررسی قرار می‌گیرد. نقطه بحرانی چیست؟ همانطور که اشاره شد، نقطه بحرانی کاربرد بسیار زیادی در ریاضیات دارد و برای رسم توابع مختلف و همچنین محاسبه ماکزیمم و مینیمم این توابع، از مفهوم نقطه بحرانی استفاده می‌شود. این مفهوم را می‌توان به صوت زیر تعریف کرد. تابعی مانند $$ f left ( x right )$$ را در نظر بگیرید. نقطه $$ x = c $$، نقطه بحرانی این تابع است در صورتی که مقدار تابع $$ { f } $$ در این نقطه، یعنی $$ { f left ( c right ) } $$، موجود باشد و همچنین یکی از دو شرط زیر برقرار باشد. شر..

توضیحات بیشتر »

حد در بینهایت — به زبان ساده

در مطالب قبلی وبلاگ فرادرس، حد بینهایت به صورت دقیق مورد مطالعه قرار گرفت. حد بینهایت حالتی را نشان می‌دهد که در آن، حد یک تابع در یک نقطه مشخص برابر با بینهایت شود و کاربرد زیادی در محاسبه مجانب قائم و محاسبه دامنه و برد یک تابع دارد. اما یکی دیگر از مباحث مهم در حد ریاضیات، محاسبه حد در بینهایت است. حد در بینهایت به صورت کلی بیان می‌کند که مقدار حد یک تابع در بینهایت چقدر است. بنابراین با استفاده از این مفهوم می‌توان مشخص کرد که یک تابع در بینهایت به کدام مقدار میل می‌کند. این مفهوم به صورت دقیق در این مطلب به وسیله‌ی مثال‌های متعددی مورد بررسی قرار می‌گیرد. حد در بینهایت چیست؟ همانطور که اشاره شد، حد در بینهایت نشان دهنده مقدار حد یک تابع در زمانی است که متغیر x به سمت مثبت یا منفی بینهایت میل می‌کند. این موضوع در روابط زیر به خوبی نشان داده شده است. $$ large mathop { lim } limits _ { x to infty } f left ( x right ) hspace { 0.25 in } hspace { 0.25 in } hspace { 0.25 in } mathop { lim } limits _ { x to – infty } f left ( x right ) $$ به عبارت دیگر ما به دنبال ا..

توضیحات بیشتر »

انتگرال گیری به روش کسرهای جزئی — از صفر تا صد

در مطالب قبلی وبلاگ فرادرس، اصول و روش‌های تجزیه کسر به صورت دقیق مورد مطالعه قرار گرفت. همانطور که اشاره شد، تجزیه کسر با استفاده از کسرهای جزئی، کاربرد بسیار زیادی در محاسبه انتگرال دارد و این مبحث با عنوان انتگرال‌گیری به روش کسرهای جزئی در ریاضیات مورد بررسی قرار می‌گیرد. این مطلب ابتدا به صورت دقیق، به بررسی انتگرال‌گیری به روش کسرهای جزئی می‌پردازد. در ادامه، قوانین مختلف مورد استفاده در تجزیه کسر به کسرهای جزئی نیز به صورت جامع مطالعه می‌شوند و در انتهای مطلب نیز با استفاده از چندین مثال، حالات مختلف موجود در انتگرال‌گیری به روش کسرهای جزئی مورد بررسی قرار می‌گیرند. انتگرال‌گیری به روش کسرهای جزئی حالتی را در نظر بگیرید که عبارت جلوی انتگرال به صورت یک کسر باشد. اگر در این حالت، با استفاده از روش‌های مرسوم نتوان انتگرال را محاسبه کرد، باید از روش کسرهای جزئی و تجزیه کسر برای محاسبه این انتگرال بهره گرفت. در واقع همانطور که در مطلب تجزیه کسر موجود در وبلاگ فرادرس اشاره شد، برای تجزیه یک کسر به کسرهای جزئی، باید روندی دقیقا مخالف جمع دو کسر طی شود. بنابراین جمع دو کسر به شکل زی..

توضیحات بیشتر »

معادله رادیکالی — به زبان ساده

در مطالب قبلی وبلاگ فرادرس معادله درجه دو و شیوه حل معادلات درجه سه به صورت دقیق مورد مطالعه قرار گرفتند ولی نحوه محاسبه پاسخ معادله رادیکالی همچنان به عنوان یک مسئله جدی باقی ماند. همچنین در مطلب «تغییر متغیر — به زبان ساده» نشان داده شد که پاسخ یک معادله در حالتی که عبارت زیر رادیکال (رادیکال با فرجه زوج) مقداری منفی داشته باشد در محدوده اعداد مختلط قرار می‌گیرد. برای مثال نشان داده شد که پاسخ $$surd{-1}$$ برابر با عدد موهومی i است. این مطلب به صورت دقیق به مطالعه معادلات رادیکالی و شیوه حل آن‌ها می‌پردازد. در واقع نشان داده می‌شود که چه اقداماتی لازم است که هنگام مواجهه با معادلات رادیکالی با فرجه دو، سه و … انجام شود. توجه کنید که رادیکال با فرجه دو را ریشه دوم و رادیکال با فرجه سه را ریشه سوم نیز می‌نامند. در انتهای مطلب شما قادر خواهید بود که پاسخ یک معادله شامل یک یا چند ترم رادیکالی را محاسبه کنید. معادله رادیکالی چیست؟ همانطور که در ابتدای این مطلب اشاره شد، معادله رادیکالی معادله‌ای است که در آن یک یا چند ترم رادیکالی با فرجه دو، سه و … حضور دارند. در واقع حل این معادلات ی..

توضیحات بیشتر »

تغییر متغیر — به زبان ساده

در مطالب قبلی وبلاگ فرادرس به صورت دقیق مفهوم توابع مختلف و دامنه و برد آن‌ها مورد ارزیابی قرار گرفت. همانطور که در این مطالب اشاره شد، یکی از موارد بسیار مهم در علم ریاضیات، تغییر متغیر است که به کمک آن می‌توان معادلات مختلف را به سادگی حل کرد. کاربرد دیگر روش تغییر متغیر در بیان ساده توابع و محاسبه سریع دامنه و برد آن‌ها است. همچنین به کمک تغییر متغیر می‌توان محاسبه مشتق و انتگرال توابع پیچیده را به راحتی مورد بررسی قرار داد. این مطلب به صورت دقیق به بررسی شیوه استفاده از روش تغییر متغیر برای حل معادلات مختلف می‌پردازد. بنابراین در صورتی که معادله مورد نظر ما قابل حل نباشد، ابتدا تغییر متغیر را بر آن اعمال و در فضای جدید، معادله را حل می‌کنیم و در نهایت حل نهایی را دوباره به حالت اولیه قبل از تغییر متغیر، باز می‌گردانیم. ایده اصلی حل معادلات به کمک روش تغییر متغیر در شکل زیر نشان داده شده است. بنابراین طبق توضیحات ارائه شده و شکل بالا، می‌توان روند کلی حل معادلات به کمک روش تغییر متغیر را با سه مرحله زیر بیان کرد. مرحله اول این است که عبارت دلخواه و مناسبی را در معادله مانند «2x..

توضیحات بیشتر »

عدد پی چگونه کشف شد؟ — ریاضیات به زبان ساده

عدد پی (π) عدد رمزآمیزی است. مطمئناً می‌دانید که مقدار آن برابر با 3.14159 است، چون احتمالاً در یک کتاب چنین خوانده‌اید. اما اگر به چنین کتابی دسترسی نداشتید، و هیچ رایانه یا فرمول‌های حسابان وجود نداشت چطور؟ تصور کنید تنها به کمک ذهن خود و یک تکه کاغذ می‌خواهید عدد پی را محاسبه کنید. ارشمیدس 2000 سال پیش عدد پی را بدون وجود ارقام اعشاری و یا حتی عدد صفر با دقت 99.9% محاسبه کرد. از این بالاتر او تکنیکی ابداع کرد که بنیاد حسابان را تشکیل می‌دهد. چه خوب است که روش کشف عدد پی در همه مدارس آموزش داده شود تا همه دانش آموزان با بنیان‌های حسابان بهتر آشنا شوند. چگونه می‌توان عدد پی را محاسبه کرد؟ پی محیط دایره‌ای با قطر واحد است. این عدد را چگونه به دست می‌آوریم؟ فرض کنید عدد پی برابر با 3 باشد. دایره‌ای را با دقت بکشید و نخی را روی پیرامون آن قرار دهید و سپس طول نخ را با دقیق‌ترین خط کش اندازه‌گیری کنید. ارشمیدس چگونه عدد پی را محاسبه کرد؟ ارشمیدس محیط دایره را نمی‌دانست؛ اما ناامید نشد و از آنچه می‌دانست یعنی محیط یک مربع آغاز کرد. البته او در واقع با یک شش‌ضلعی محاسبه خود را آغاز کرد؛ ا..

توضیحات بیشتر »

مشابهت در ریاضیات — مفاهیم به زبان ساده

مشابهت مفهومی است که ذهن بسیاری از افراد را درگیر خود می‌کند. چرا همه دایره‌ها فرمول محاسبه مساحت یکسانی دارند؟ چطور وقتی آن‌ها را بزرگ یا کوچک می‌کنیم، هیچ تغییری در این فرمول ایجاد نمی‌شود؟ اما در طبیعت وقتی چیزهای کوچکی مانند ذره، حشره یا کودک به چیزهای بزرگ‌تری تبدیل می‌شوند، تغییرات زیادی در ماهیتشان ایجاد می‌شود. اگر همه دایره‌ها فرمول مساحت یکسانی داشته باشند، آیا می‌توان گفت که یک زنبورعسل ۱۰۰ متری نیز می‌تواند پرواز کند؟ نکته ظریفی در این جا نهفته است: شکل‌های مشابه نسخه‌های بزرگنمایی شده‌ای از همدیگر هستند. زیرا نمی‌توانیم آن‌ها را از هم جدا کنیم (در ادامه بیشتر توضیح داده شده است) آن‌ها باید فرمول‌های درونی یکسانی برای محیط، مساحت و غیره داشته باشند. با این حال آیتم‌هایی با فرمول یکسان قابل تعویض یا همدیگر نیستند. البته همه انسان‌ها از کودک تا بازیکن بلندقد بسکتبال فرمول یکسانی به صورت فاصله بین دو دست = قد دارند؛ اما این بدان معنی نیست که بازیکن ۲۲۰ سانتی‌متری بسکتبال و یک نوزاد ۲۲ سانتی‌متری هر دو بازیکنان بسکتبال خوبی هستند. در واقع نکته اصلی برای جداسازی فرمول اشتراک ..

توضیحات بیشتر »

ضرب متقاطع یا طرفین و وسطین — به زبان ساده

ضرب متقاطع یا طرفین و وسطین اصطلاحی در ریاضیات است که یک رابطه را میان صورت و مخرج دو کسر مساوی برقرار می‌کند و کاربرد بسیار زیادی در حل معادلات کسری و نسبی دارد. همچنین بسیاری از مسائل پیچیده به کمک این رابطه، ساده و قابل محاسبه خواهند شد. فرض کنید که دو کسر مساوی به شکل زیر داشته باشیم. رابطه ۱ رابطه ضرب متقاطع یا طرفین و وسطین، برای این دو کسر به شکل زیر نمایش داده می‌شود. رابطه ۲ این رابطه، نشان می‌دهد که اگر دو کسر مساوی داشته باشیم، حاصل ضرب صورت کسر اول در مخرج کسر دوم با حاصل ضرب صورت کسر دوم در مخرج کسر اول، برابر خواهد بود اثبات رابطه ضرب متقاطع یا طرفین و وسطین یکی از قوانین بسیار مهم در کسرها این است که اگر صورت و مخرج کسری را در یک عدد ضرب کنیم، حاصل کسر تغییری نخواهد کرد. بنابراین دو کسر مساوی مانند رابطه ۱ را در نظر بگیرید. صورت و مخرج کسر سمت چپ را در مخرج کسر سمت راست (مخرج کسر سمت راست عدد ۳ است) ضرب کنید. عبارت حاصل به شکل زیر در می‌آید. رابطه ۳ در ادامه، صورت و مخرج کسر سمت راست رابطه بالا را در مخرج کسر سمت چپ رابطه ۱ (مخرج کسر سمت چپ رابطه ۱ برابر با ۱۲ است) ..

توضیحات بیشتر »