خانه / fd / پاسخ سیستم مرتبه دوم — از صفر تا صد

پاسخ سیستم مرتبه دوم — از صفر تا صد

در ادامه مجموعه آموزش‌های سیستم‌های کنترل در مجله فرادرس، در این آموزش پاسخ سیستم مرتبه دوم را بررسی می‌کنیم. همچنین با اثر افزودن صفر و قطب بر سیستم آشنا خواهیم شد.

قبلاً با نمایش توابع تبدیل در سیستم‌های کنترل آشنا شدیم. دیدیم که توابع تبدیل قطب‌های حقیقی یا مختلط دارند. شکل کلی تابع تبدیل یک سیستم مرتبه دوم به صورت زیر بیان می‌شود:

$$ large begin {align*}
H ( s ) & = frac { omega ^ 2 _ n } { s ^ 2 + 2 zeta omega _ n s + omega ^ 2 _ n } ,
end {align*} $$

که در آن:

  • $$ zeta > 0 $$ و $$ omega_n > 0 $$ پارامترهایی در $$ mathscr {R } _{>0} $$ هستند.
  • مخرج تابع تبدیل، یک چندجمله‌ای یکین (Monic) است. پارامتر $$ zeta $$، میرایی یا ضریب میرایی، و $$ omega_n $$ فرکانس طبیعی نامیده می‌شوند.
  • بهره DC تابع تبدیل $$ H(s) $$ (اگر وجود داشته باشد) برابر با $$۱$$ است.

ریشه‌های معادله درجه دوم مخرج تابع تبدیل، به صورت زیر هستند:

$$ large begin {align*}
s & = – zeta omega _ n pm omega _ n sqrt { zeta ^ 2 – ۱ } \
& = – omega _ n left ( zeta pm sqrt { zeta ^ 2 – ۱ } right ) .
end {align*} $$

همان‌طور که می‌بینیم، با تغییر $$ zeta $$، طبیعت قطب‌ها نیز تغییر خواهد کرد:

  • اگر $$ zeta > 1 $$، هر دو قطب حقیقی و منفی هستند.
  • اگر $$ zeta = 1 $$، دو قطب تکراری منفی وجود دارد.
  • اگر $$ zeta < 1 $$، با دو قطب مختلط $$ s = -sigma pm j omega_d $$ مواجه خواهیم بود که بخش حقیقی آن منفی است و تساوی‌های $$ sigma = zeta omega_n $$ و $$ omega_d = omega_n sqrt{1-zeta^2} $$ را داریم.

سه حالت بالا، به ترتیب، تُندمیرا (Overdamped)، میرای بحرانی (Critically Damped) و کُندمیرا (Underdamped) نامیده می‌شوند. اگر $$ zeta = 0 $$ باشد، میرایی در سیستم نخواهد بود ($$ omega_d = omega_n $$).

تابع تبدیل سیستم کُندمیرای زیر را در نظر بگیرید:

$$ large begin {align*}
H ( s ) & = frac { omega ^ 2 _ n } { s ^ 2 + 2 zeta omega _ n s + omega ^ 2 _ n } , mbox { } , , , , , , , , zeta < 1 .
end{align*} $$

قطب‌های این سیستم، به صورت زیر هستند:‌

$$ large begin {align*}
s & = – zeta omega _ n pm j omega _ n sqrt { 1 – zeta ^ 2 } \
& = – sigma pm j omega _ d
end{align*} $$

نمایش قطب‌های سیستم
شکل ۱: محل قطب‌های سیستم مرتبه دوم کُندمیرا

اگر مجذور قسمت‌های حقیقی و موهومی قطب‌ها را با هم جمع کنیم، به معادله یک دایره خواهیم رسید:

$$ large begin {align*}
text {Re} ^ 2 + text {Im} ^ 2 & = omega _ n ^ 2 left ( zeta ^ 2 + left ( sqrt { 1 – zeta ^ 2 } right ) ^ 2 right ) \
& = omega _ n ^ 2 .
end{align*} $$

در شکل ۱، رابطه $$ cosvarphi = frac{zetaomega_n}{omega_n} = zeta $$ نیز برقرار است.

پاسخ ضربه سیستم به صورت زیر قابل محاسبه است:‌

begin{align*} large
h(t) & = mathscr { L } ^ { – ۱ } { H ( s ) } hspace{5.5cm} \
& = mathscr { L } ^ { – ۱ } left{ frac { omega ^ 2 _ n } { s ^ 2 + 2 zeta omega _ n s + omega ^ 2 _ n } right} \
& = mathscr { L } ^{ – ۱ } left{ frac { omega ^ 2 _ n } { ( s + sigma ) ^ 2 + omega ^ 2 _ d } right} hspace{3cm} \
& = mathscr { L } ^ { – ۱ } left{ frac { ( omega ^ 2 _ n /omega _ d ) omega _ d } { ( s + sigma ) ^ 2 + omega ^ 2 _ d } right} \
& = frac { omega ^ 2 _ n } { omega _ d } e ^ { -sigma t } sin ( omega _ d t ) . hspace {4.5cm}
end{align*}

به طور مشابه، می‌توان پاسخ پله را به صورت زیر محاسبه کرد:‌

$$ large
begin {align*}
y ( t ) & = mathscr { L } ^ { – ۱ } left{ Y ( s ) right} \
& = mathscr { L } ^ { – ۱ } left{ frac { H ( s ) } { s } right} hspace {6cm} \
& = mathscr { L } ^ { – ۱ } left{ frac{sigma ^ 2 + omega ^ 2 _ d } { s [ ( s + sigma ) ^ 2 + omega ^ 2 _ d ] } right } hspace {3.5cm} \
& = 1 – e ^ { – sigma t } left ( cos ( omega _ d t ) +
frac { sigma } { omega _ d } sin ( omega _ d t ) right ) . qquad
end{align*} $$

نمودار پاسخ پله سیستم مرتبه دوم کُندمیرا، برای مقادیر مختلف $$ zeta $$ در شکل زیر نشان داده شده است.

پاسخ پله
شکل ۲: پاسخ پله یک سیستم مرتبه‌ دوم کُندمیرا به ازای مقادیر مختلف $$ zeta $$

با توجه به شکل بالا، نرخ میرایی نمایی پاسخ پله، به بخش حقیقی قطب‌های مختلط $$ Re(s) = – sigma = -zeta omega_n $$ بستگی دارد؛ در حالی که بخش موهومی، نوسانی بودن پاسخ را نشان می‌دهد. به همین دلیل است که $$ omega_d = omega_n sqrt{1-zeta^2} $$ فرکانس طبیعی میرا نامیده می‌شود.

همان‌طور که گفتیم، پاسخ پله تابع تبدیل سیستم مرتبه دوم کُندمیرایِ

$$ large H ( s ) = frac { omega ^ 2 _ n } { s ^ 2 + 2 zeta omega _ n s + omega ^ 2 _ n } = frac { omega ^ 2 _ n }{ ( s + sigma ) ^ 2 + omega ^ 2 _ d } $$

به صورت زیر است:

$$ large y ( t ) = 1 – e ^ { – sigma t } left ( cos ( omega _ d t ) + frac { sigma } { omega _ d } sin ( omega _ d t ) right ) $$

که در آن، $$ sigma = zeta omega_n $$ و $$ omega_d = omega_n sqrt{1-zeta^2} $$ فرکانس طبیعی میرا است.

در ادامه، خواهیم دید که ضریب میرایی $$ zeta $$ و فرکانس طبیعی $$ omega _ n $$ ویژگی‌های مهمی از بخش گذرای پاسخ پله را تعیین می‌کنند.

مشخصات پاسخ سیستم در حالت گذرا

در این بخش، برخی ویژگی‌های مهم پاسخ گذرا را بیان می‌کنیم.

زمان صعود

ابتدا یک سیستم مرتبه اول را در نظر بگیرید:

$$ large begin {align*}
H ( s ) = frac { a } { s + a } , ,, , , , , a > 0 .
end {align*} $$

سیستم بالا، یک قطب پایدار $$ s = -a $$ دارد. با استفاده از قضیه مقدار نهایی، بهره DC سیستم، برابر با $$۱ $$ به دست می‌آید.

پاسخ پله این سیستم را می‌توان به صورت زیر محاسبه کرد:‌

$$ large begin {align*}
y ( t ) & = mathscr { L } ^ { – ۱ } { Y ( s ) } \
& = mathscr { L } ^ { – ۱ } left{ H ( s ) frac { 1} { s } right} \
& = mathscr { L } ^ { – ۱ } left{ frac { a } { s ( s + a ) } right } \
& = mathscr { L } ^ { – ۱ } left { frac { 1 } { s } – frac { 1 } { s+ a } right } \
& = 1 ( t ) – e ^ { – a t } .
end{align*} $$

زمان صعود (Rise Time) را به عنوان مدت زمانی تعریف می‌کنیم که طول می‌کشد تا پاسخ سیستم از $$ ۱۰ % $$ به $$ ۹۰ %$$ مقدار حالت ماندگار (پاسخ پله) برسد. زمان صعود را با $$ t _ r $$‌ نشان می‌دهند. شکل زیر، زمان صعود پاسخ پله یک سیستم مرتبه اول را نشان می‌دهد.

زمان صعود
شکل ۳: زمان صعود یک سیستم مرتبه اول

زمان صعود $$ t _ r $$ پاسخ پله $$ y(t) =1(t) – e^{-at} $$ را می‌توان به صورت تحلیلی و با استفاده از تعریف به دست آورد. فرض می‌کنیم $$ t_{0.1} $$ و $$ t_{0.9} $$، لحظاتی هستند که در پاسخ در آن‌ها، به ترتیب، به $$ ۱۰ %$$ و $$ ۹۰ %$$ مقدار حالت ماندگار می‌رسد (برای نخستین بار). در نتیجه، زمان صعود به صورت زیر به دست می‌آید:

$$ large begin {align*}
& 1 – e ^ { – a t _ { 0 . 1 } } = 0 . 1 , qquad e ^ { -a t _ { 0 . 1 } } = 0 .9 , qquad t _ { 0 .1 } = – frac { ln 0 . 9 } { a} ; \
& 1 – e ^ { – a t _ { 0 . 9 } } = 0 . 9 , qquad e ^ { -a t _ { 0. 9 } } = 0 . 1 , qquad t _ { 0. 9 } = – frac { ln 0 . 1 } { a } . \
& t _ r = t _ { 0 . 9 } – t _ { 0 . 1 } = frac { ln 0 . 9 – ln 0 . 1 } { a } = frac { ln 9 } { a } approx frac { 2 . 2 } { a } .
end {align*} $$

فراجهش و زمان نشست

اکنون به سیستم مرتبه دوم بر می‌گردیم. مجدداً سیستم مرتبه دوم کُندمیرای زیر را در نظر بگیرید:‌

$$ large begin {align*}
H ( s ) & = frac { omega ^ 2 _ n } { s ^ 2 + 2 zeta omega _n s + omega ^ 2 _ n } = frac { omega ^ 2 _ n } { ( s + sigma ) ^ 2 + omega ^ 2 _ d } ,
end{align*} $$

که در آن، $$ sigma = zeta omega_n $$ و $$ omega_d = omega_n sqrt{1-zeta^2} $$ هستند و $$ zeta < 1 $$ است.

پاسخ پله $$ y ( t ) = 1 – e^ { – sigma t } left ( cos ( omega _ d
t ) + dfrac { sigma } { omega _ d } sin ( omega _ d t ) right ) $$ سیستم در شکل ۴ نشان داده شده است.

زمان صعود یک سیستم مرتبه دوم (کُندمیرا)
شکل ۴: پاسخ یک سیستم مرتبه دوم (کُندمیرا)

علاوه بر زمان صعود، دو ویژگی فراجهش (Overshoot) و زمان نشست (Settling Time) را نیز می‌توان بررسی کرد:

  • زمان صعود $$t_r$$: مدت زمانی که $$ ۰٫۱ y(infty) $$ به $$ ۰٫۹ y(infty) $$ می‌رسد.
  • فراجهش $$M_p$$ و زمان پیک $$t_p$$ ($$M_p$$ بر حسب درصد فراجهش نیز بیان می‌شود).
  • زمان نشست $$ t_s$$: نخستین باری است که پاسخ گذرا به محدوده مشخص کوچکی از $$ y ( infty ) $$ می‌رسد و در آن محدوده باقی می‌ماند. معمولاً محدوده $$۵ %$$ پاسخ حالت ماندگار را برای زمان نشست در نظر می‌گیریم. گفتنی است که مقدار پیش‌فرض برای محدوده تغییرات در تابع $$ mathrm {stepinfo()}$$ نرم‌افزار متلب، $$۲ %$$ است.

در حالت کلی، وضعیت مطلوب برای پاسخی با صعود و نشست سریع و فراجهش کم، باید شرایط زیر را داشته باشد:

  • $$ t _r$$ کوچک
  • $$M_p$$ کوچک
  • $$ t_p$$ کوچک
  • $$ t_s$$ کوچک

اما در عمل، برآورده کردن همه شرایط فوق، ناممکن است، زیرا مثلاً کاهش $$t_r$$ به افزایش $$M_p$$ منجر می‌شود.

فرمول‌های مشخصات پاسخ در حوزه زمان

در این بخش، فرمول‌های مربوط به مشخصات پاسخ گذرا را بیان می‌کنیم.

زمان صعود

در حالت کلی، محاسبه زمان صعود $$ t _ r$$ به صورت تحلیلی کار دشواری است؛ اما با نرمال کردن مقیاس زمان به صورت $$ t to omega_n t $$، می‌توان به صورت تجربی مقدار تقریبی زمان صعود را به دست آورد:

$$ large w _ n t _ r approx 1 . 8 . qquad text{( $zeta = 0.5$)} $$

بنابراین، می‌توانیم از $$ t_r approx dfrac{1.8}{omega_n} $$ استفاده کنیم که تقریب مناسبی برای $$ zeta approx 0.5 $$ است.

فراجهش و زمان پیک

در شکل ۴، زمان پیک $$ t_p$$ اولین لحظه‌ $$ t > 0$$‌ است که در آن، $$ y ^ prime (t) =0 $$ برقرار است. پاسخ و مشتق آن به صورت زیر هستند:

$$ large begin{align*}
y ( t ) & = 1 – e ^ { -sigma t } left ( cos ( omega _ d t ) + dfrac { sigma } { omega _ d } sin ( omega _ d t ) right ) \
y ^prime ( t ) & = left ( frac { sigma ^ 2 } { omega _ d } + omega _ d right ) e ^ { – sigma t } sin ( omega _ d t ) = 0, text{ }, , , , , , omega _ d t = 0 , pi , 2 pi , ldots ,
end {align*} $$

با استفاده از رابطه مشتق پاسخ و $$ y ^ prime (t) =0 $$، زمان پیک، برابر است با $$ t_p = dfrac{pi}{omega_d} $$.

برای محاسبه مقدار فراجهش $$ M_p $$، زمان پیک $$ t_p$$ را در معادله $$ y (t) $$‌ قرار می‌دهیم:

$$ large begin {align*}
M _ p & = y ( t _ p ) – ۱ \
& = – e ^ { – frac { sigma pi } { omega _ d } } left ( cos left ( omega _ d frac { pi } { omega _ d } right ) + frac { sigma } { omega _ d } sin left ( omega _ d frac { pi } { omega _ d } right ) right ) \
& = – exp left ( – frac { sigma pi } { omega _ d } right ) ( – ۱ + ۰ ) \
& = exp left ( – frac { pi zeta } { sqrt { 1 – zeta ^ 2 } } right ) .
end{align*} $$

فرمول $$ M_p$$ دقیق است.

زمان نشست

زمان نشست، آخرین لحظه‌ای است که پاسخ پله به محدوده نوار خطای $$۵%$$ وارد می‌شود و از آن خارج نمی‌شود. بنابراین، می‌توان نوشت:

$$ large t _ s = min left { t > 0 : , dfrac { | y ( t’ ) – y ( infty ) | } { y ( infty ) }
le 0 . 0 5 text { for all } t’ ge t right } . $$

در شکل قبل، $$ y (infty ) = 1 $$ است. بنابراین، نوار خطا را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$$ large begin {align*}
| y ( t ) – ۱ | & = e ^ { – sigma t } left | cos ( omega _ d t ) + frac { sigma } { omega _ d } sin ( omega _ d t ) right | ,
end {align*} $$

که در آن، نمایی کاهشی $$ e^{-sigma t} $$ همان جمله‌ای است که باید به آن توجه کنیم، زیرا توابع $$ sin $$ و $$ cos $$ به $$۱$$ محدود هستند. بنابراین، $$ e^{-sigma t_s} le 0.05 $$ منجر به رابطه $$ t_s = – dfrac{ln 0.05}{sigma} approx dfrac{3}{sigma} $$ خواهد شد.

به عنوان جمع‌بندی، برای مشخصات حوزه زمان یک سیستم مرتبه دوم کُندمیرایِ

$$ large begin {align*}
H ( s ) & = frac { omega ^ 2 _ n } { s ^ 2 + 2 zeta omega _ n s + omega ^ 2 _ n} \
& = frac { sigma ^ 2 + omega _ d ^ 2 } { ( s + sigma ) ^ 2 + omega ^ 2 _ d } ,
end {align*} $$

فرمول‌های زیر را داریم:

$$ Large begin {align*}
t _ r & approx frac { 1 . 8 } { omega _ n } , \
t _ p & = frac { pi } { omega _ d } , \
M _ p & = exp left ( – frac { pi zeta } { sqrt { 1 -zeta ^ 2 } } right ) , \
t _ s & approx frac { 3 } { sigma} .
end {align*} $$

ارتباط مشخصات حوزه زمان و قطب‌ها در صفحه مختلط

با استفاده‌ از فرمول‌هایی که در بخش قبل برای یک سیستم مرتبه دوم کندمیرا گفته شد، می‌توان مشخصات حوزه زمان را با مکان قطب‌ها در صفحه مختلط نشان داد.

زمان صعود

فرض کنید می‌خواهیم رابطه $$ t_r le c $$ برقرار باشد، که در آن، $$ c$$ کران بالای مطلوب برای زمان صعود است. در نتیجه، داریم:

$$ large begin {align*}
t _ r & approx dfrac { 1 . 8 } { omega _n } le c \
implies omega _ n & ge dfrac { 1 . 8 } { c } .
end {align*} $$

اگر رابطه بالا را به صورت هندسی بیان کنیم، قطب‌ها باید در ناحیه سایه زده شده شکل زیر قرار داشته باشند.

موقعیت‌های ممکن قطب‌ها برای ناحیه $$ t _r le c $$
شکل ۵: موقعیت‌های ممکن قطب‌ها برای ناحیه $$ t _r le c $$

فراجهش

فرض کنید می‌خواهیم $$ M_p le c $$ باشد:

$$ large M _ p = { exp left ( –
dfrac { pi zeta } { sqrt { 1 -zeta ^ 2 } } right ) } le c $$

به ضریب میرایی بزرگی نیاز داریم. طبق آنچه قبلاً گفتیم، می‌توان نوشت:

$$ large begin{align*}
frac{zeta}{sqrt{1-zeta^2}} &= frac{omega_nzeta}{omega_nsqrt{1-zeta^2}} \
&= frac{sigma}{omega_d} \
&= cot varphi,
end{align*} $$

بنابراین، $$ varphi $$ باید کوچک باشد. اگر رابطه بالا را به صورت هندسی بیان کنیم، قطب‌ها باید در ناحیه سایه زده شده شکل زیر قرار داشته باشند.

موقعیت‌های ممکن قطب‌ها برای ناحیه $$ M_p le c $$
شکل ۶: موقعیت‌های ممکن قطب‌ها برای ناحیه $$ M_p le c $$

زمان نشست

فرض کنید می‌خواهیم $$ t_s le c $$ باشد. بنابراین، داریم:

$$ large begin{align*}
t_s &approx dfrac{3}{sigma} le c \
implies &sigma ge dfrac{3}{c}.
end{align*} $$

در نتیجه، اندازه بخش حقیقی قطب‌ها ($$ {rm Re}(s) = – sigma $$) باید به اندازه کافی بزرگ باشد؛ یعنی به اندازه کافی از مبدأ دور باشد.

اگر رابطه بالا را به صورت هندسی بیان کنیم، قطب‌ها باید در ناحیه سایه زده شده شکل زیر قرار داشته باشند.

موقعیت‌های ممکن قطب‌ها برای ناحیه $$ t_s le c $$
شکل ۷: موقعیت‌های ممکن قطب‌ها برای ناحیه $$ t_s le c $$

هرچه اندازه قطب‌های سمت چپ محور موهومی بزرگ‌تر باشند، پاسخ سریع‌تر و در نتیجه $$t _s $$ کوچک‌تر است.

اگر قیود و الزاماتی که داریم، ترکیبی از ویژگی‌های $$ t_r$$، $$M_p$$ و $$ t _s $$ باشد، می‌توانیم به سادگی آن‌ها را بر صفحه مختلط اعمال کرده و اشتراک آن‌ها را به عنوان محدوده مجاز برای انتخاب قطب‌ها تعیین کنیم. شکل زیر این موضوع را نشان می‌دهد.

موقعیت‌های ممکن برای قطب‌ها با اعمال قیود $$ t _r $$، $$ M_p$$ و $$ t_s$$
شکل ۸: موقعیت‌های ممکن برای قطب‌ها با اعمال قیود $$ t _r $$، $$ M_p$$ و $$ t_s$$

اثر صفر و قطب‌ بر پاسخ گذرا

در این بخش، اثر افزودن صفر‌ها و قطب‌ها را بر شکل پاسخ گذرا بررسی می‌کنیم.

فرض کنید تابع تبدیل سیستم، به صورت زیر باشد:‌

$$ large H ( s ) = dfrac { q ( s ) } { p ( s ) } $$

صفرهای این سیستم، ریشه‌های چندجمله‌ای صورت $$ q(s) = 0 $$ هستند.

اثر صفر سمت چپ

این حالت را در قالب یک مثال توضیح می‌دهیم. تابع تبدیل $$ H_1 (s) $$ را با فرکانس طبیعی نرمال‌شده $$ omega _ n = 1 , mathrm {rad/s}$$ در نظر بگیرید:

$$ large H _ 1 ( s ) = dfrac { 1 } { s ^ 2 + 2 zeta s + 1 } , text { } , , , , , omega _ n = 1 . $$

فرض می‌کنیم صفر جدید $$ s = – a $$ ( $$ a > 0 $$) به $$H_1 (s) $$ اضافه شود. برای آنکه بهره DC برابر با $$ ۱ $$ باقی بماند، جمله ثابت صورت را به شکل نرمال $$ dfrac{s}{a}+1 $$ در نظر می‌گیریم. تابع تبدیل جدید $$ H_2 (s)$$ به صورت زیر خواهد بود:

$$ large begin {align*}
H _ 2 ( s ) & = frac { frac { s } { a } + 1 } {s ^ 2 + 2 zeta s + 1 } \
& = underbrace { frac { 1 } { s ^ 2 + 2 zeta s + 1 } } _ { text { $ H _ 1 ( s ) $ } } + frac { 1 } { a } cdot underbrace { frac { s } { s ^ 2 + 2 zeta s + 1 } } _ { text { $ H _ d ( s ) $ } } \
& = H _ 1 ( s ) + frac { 1 } { a } H _ d ( s ) , qquad H _ d ( s ) = s H _ 1 ( s ) .
end{align*} $$

بنابراین، به طور خلاصه می‌توان گفت:

$$ large begin {align*}
H _ 1 ( s ) = frac { 1 } { s ^ 2 + 2 zeta s + 1 } , , xrightarrow { text {$ s = – a $}} , , H _ 2 ( s ) = H _ 1 ( s ) + frac { 1 } { a } cdot s H _ 1 ( s )
end {align*} $$

اکنون رابطه بین پاسخ پله تابع تبدیل جدید $$ H_2 (s) $$ و تابع تبدیل اصلی $$ H_1 (s) $$ را به دست می‌آوریم. پاسخ پله دو تابع تبدیل به صورت زیر است:

$$ large begin {align*}
Y _ 1 ( s ) & = frac { H_ 1 ( s ) } { s } ; \
Y _ 2 ( s ) & = frac { H _ 2 ( s ) } { s } \
& = frac { 1 } s left ( H _ 1 ( s ) + frac { 1 } { a } s H _ 1 ( s ) right ) \
& = frac { H _ 1 ( s ) } { s } + frac { 1 } a s frac { H _ 1 ( s ) } s \
& = Y _ 1 ( s ) + frac { 1 } { a } s Y _ 1 ( s ) .
end{align*} $$

بنابراین، با فرض شرایط اولیه صفر، داریم:

$$ large begin{align*}
y _ 2 ( t ) & = mathscr { L } ^ { – ۱ } { Y _ 2 ( s ) } \
& = mathscr { L } ^ { – ۱ } left{ Y _ 1 ( s ) + frac { 1 } { a } cdot s Y _ 1 ( s ) right } \
& = y _ 1 ( t ) + frac { 1 } { a } dot { y } _ 1 ( t ) .
end{align*} $$

از معادله اخیر می‌توان دریافت که اضافه کردن صفر $$ s= -a$$ به تابع تبدیل اصلی، پاسخ جدید $$ y _2 (t) $$ را نتیجه خواهد داد که برابر با مجموع پاسخ اصلی $$ y _1 (t) $$ و ضریبی از مشتق $$ dot{y}_1(t) $$ آن است.

$$ large begin{align*}
y _ 2 ( t ) & = y _ 1 ( t ) + frac { 1 } a dot { y } _1 ( t )
end{align*} $$

اثر افزودن صفر سمت راست $$ s = - a $$ روی پاسخ پله $$ H_1 (s) $$
شکل ۹: اثر افزودن صفر سمت راست $$ s = – a $$ روی پاسخ پله $$ H_1 (s) $$

طبق شکل بالا، صفر سمت راست، سبب موارد زیر می‌شود:

  • افزایش فراجهش (به عنوان اثر اصلی)؛
  • کمی تغییر در زمان نشست؛
  • و هرچه صفر از مبدأ دورتر باشد؛ یعنی $$ a to infty $$، اثر آن کمتر خواهد بود؛ زیرا $$ frac{1}a dot{y}_1(t) to 0 $$.

اثر صفر سمت راست

مشابه بخش قبل، می‌توانیم اثر صفر سمت راست $$ s = a $$ ($$ a > 0 $$) را بر پاسخ سیستم بررسی کنیم. نتیجه افزودن صفر سمت راست به سیستم، به صورت زیر است:

$$ large begin {align*}
H _ 1 ( s ) = frac { 1 } { s ^ 2 + 2 zeta s + 1 } , , xrightarrow { text {$ s = a $} } , , H _ 2 ( s ) & = H _ 1 ( s ) – frac { 1 } { a } cdot s H _ 1 ( s ) , \
y _ 2 ( t ) & = y _ 1 ( t ) – frac { 1 } { a } cdot dot { y } _ 1 ( t ) .
end {align*} $$

از معادله بالا می‌توان دریافت که اضافه کردن صفر $$ s=a$$ به تابع تبدیل اصلی، پاسخ جدید $$ y _2 (t) $$ را نتیجه خواهد داد که برابر با حاصل تفریق ضریبی از مشتق $$ dot{y}_1(t) $$ از پاسخ اصلی $$ y _1 (t) $$ است.

اثر افزودن صفر سمت راست $$ s = a $$ روی پاسخ پله $$ H_1(s) $$
شکل ۱۰: اثر افزودن صفر سمت راست $$ s = a $$ روی پاسخ پله $$ H_1(s) $$

طبق شکل بالا، می‌توان گفت که افزودن یک صفر سمت راست بر سیستم، سبب موارد زیر می‌شود:

  • کند شدن یا تأخیر در پاسخ اصلی؛
  • ایجاد فروجهش بزرگ، در صورت بسیار نزدیک بودن صفر به مبدأ.

اثر قطب سمت چپ

یک سیستم مرتبه $$n$$ عمومی، دارای $$n$$ قطب (مختلط) است، زیرا طبق قضیه اساسی جبر، معادله چندجمله‌ای $$ p(s) = 0 $$، دقیقاً $$ n $$ ریشه در مجموعه اعداد مختلط دارد. همچنین، می‌توان گفت:

  • اگر بخش حقیقی قطب‌های سمت چپ حداقل $$۵$$ برابر از بخش حقیقی قطب‌های غالب سمت چپ بزرگتر باشد، تأثیر زیادی نخواهند داشت. مثلاً اگر برای قطب‌های غالب، $$ {rm Re}(s) = -2 $$ را داشته باشیم و بخش حقیقی قطب‌های اضافه، $$ {rm Re}(s) = -10 $$ باشد، تأثیر آن‌ها در حوطه زمان، به ترتیب، $$ e^{-2t} $$ و $$ e^{-10t} $$ خواهد بود و با توجه به $$ e^{-10t} ll e^{-2t} $$، تأثیر قطب‌های اضافه، قابل توجه نخواهد بود.
  • $$۵$$ برابر تنها یک قرارداد است؛ اما واقعاً می‌توان اثر قطب‌های نزدیک‌تر را مشاهده کرد.
قطب‌های غالب
شکل ۱۱: قطب‌های غالب

اثر قطب سمت راست

بررسی اثر قطب‌های سمت راست بر سیستم توجیهی ندارد، زیرا این قطب‌ها ناپایدارند.

اثر قطب‌های روی محور موهومی

وضعیتی که قطب‌ها روی محور موهومی قرار دارند، یک حالت مرزی است. برای بررسی این مورد، ابتدا فرض کنید یک قطب در مبدأ داریم:

$$ large H ( s ) = dfrac { 1 } { s } $$

آیا این سیستم پایدار است؟

  • پاسخ ضربه، برابر با $$ Y(s) = dfrac{1}{s} implies y(t) = 1(t) $$ و یک تابع واحد و در نتیجه، پایدار است.
  • پاسخ پله برابر با $$ Y(s) = dfrac{1}{s^2} implies y(t) = t, , tge 0 $$ است. خروجی آن، یک شیب واحد است و افزایشی است.

اکنون حالتی را در نظر بگیرید که سیستم دو قطب موهومی دارد:

$$ large H ( s ) = dfrac { omega ^ 2 } { s ^ 2 + omega ^ 2 } . $$

  • پاسخ ضربه، برابر با $$Y(s) = dfrac{omega^2}{s^2+omega^2}
    implies y(t) = omega sin (omega t) $$ و خروجی محدود است، اما همگرا نمی‌شود.
  • پاسخ پله برابر با $$ Y(s) = dfrac{omega^2}{s(s^2+omega^2)}
    implies y(t) = 1 – cos(omega t) $$ است و خروجی محدود است، اما همگرا نمی‌شود.

بنابراین، سیستم‌هایی با قطب روی محور موهومی، اکیداً پایدار نیستند. برای درک بهتر اثر قطب بر سیستم، شکل زیر را ببینید.

اثر قطب‌ها روی پاسخ پله $$ H (s) $$
شکل ۱۲: اثر قطب‌ها روی پاسخ پله $$ H (s) $$

به طور خلاصه می‌توان گفت:

  • پاسخ سیستم برای قطب‌هایی که بخش حقیقی آن‌ها در سمت چپ محور موهومی است ($$ {rm Re}(s) < 0 $$)، پایدار است.
  • پاسخ سیستم برای قطب‌هایی که بخش حقیقی آن‌ها در سمت راست محور موهومی است ($$ {rm Re}(s) > 0 $$)، ناپایدار است.
  • پاسخ سیستم برای قطب‌هایی که روی محور موهومی قرار دارند($$ {rm Re}(s) = 0 $$)، اکیداً پایدار نیست.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

  • مجموعه آموزش‌های دروس مهندسی کنترل
  • آموزش کنترل خطی با رویکرد حل مساله
  • مجموعه آموزش‌های مهندسی کنترل
  • آموزش سیستم‌های کنترل خطی
  • سیستم کنترل حلقه باز — به زبان ساده
  • مکان هندسی ریشه ها (Root Locus) در مهندسی کنترل — به زبان ساده
  • تقلب‌نامه (Cheat Sheet) تبدیل لاپلاس

^^

بلی خیر

نوشته پاسخ سیستم مرتبه دوم — از صفر تا صد اولین بار در مجله فرادرس. پدیدار شد.

درباره ی admin

مطلب پیشنهادی

جستجوی تمام متن در لاراول با استفاده از Scout — به زبان ساده

جستجوی تمام متن یک قابلیت ضروری جهت فراهم ساختن امکان حرکت در میان صفحه‌های وب‌سایت‌های با محتوای گسترده است. در این مقاله، شیوه پیاده‌سازی امکان جستجوی تمام متن را برای یک اپلیکیشن لاراول بررسی می‌کنیم. در واقع ما از کتابخانه Scout لاراول استفاده می‌کنیم که پیاده‌سازی جستجوی تمام متن را به امری ساده و جذاب تبدیل کرده است. مستندات رسمی، کتابخانه Scout لاراول را به صورت زیر توصیف می‌کنند: کتابخانه Scout لاراول یک راه‌حل ساده و مبتنی بر درایور برای افزودن امکان جستجوی تمام متن به مدل‌های Eloquent ارائه می‌کند. Scout با استفاده از «مشاهده‌گرهای مدل» (model observers) به طور خودکار اندیس‌های جستجو را در وضعیتی همگام‌سازی شده با رکوردهای Eloquent حفظ می‌کند. کتابخانه Scout لاراول به مدیریت دستکاری اندیس‌ها در زمان بروز تغییراتی در داده‌های مدل می‌پردازد. جایی که داده‌های اندیس می‌شوند به درایوری وابسته است که برای کتابخانه Scout پیکربندی‌شده است. در حال حاضر کتابخانه Scout از Algolia پشتیبانی می‌کند که یک API موتور جستجوی مبتنی بر کلود است و ما نیز در این مقاله از آن برای نمایش پیاده‌سا..

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *