خانه / fd / انتگرال خطی در فیزیک — به زبان ساده

انتگرال خطی در فیزیک — به زبان ساده

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، درباره انتگرال و روش‌های محاسبه آن بحث کردیم. در این آموزش‌ها، مباحثی مانند انتگرال توابع مثلثاتی، انتگرال‌گیری جزء به جزء، انتگرال دوگانه و انتگرال سه‌گانه را معرفی کردیم. همچنین با انتگرال خطی آشنا شدیم. انتگرال خطی در مباحث مختلف فیزیک کاربرد فراوانی دارد. در این آموزش، چند مورد از مهم‌ترین کاربردهای انتگرال خطی در فیزیک را بررسی می‌کنیم.

در فیزیک، از انتگرال­‌های خطی به ویژه برای محاسبه موارد زیر استفاده می‌شود:

  • جرم یک سیم
  • مرکز جرم و گشتاورهای لختی سیم
  • کار انجام شده توسط نیروی وارد بر یک جسم متحرک در یک میدان برداری
  • میدان مغناطیسی حول یک رسانا (قانون آمپر)
  • ولتاژ تولیدی در یک حلقه (قانون القای مغناطیسی فارادی)

در ادامه این کاربردها را با جزئیات بیشتر بررسی می‌­کنیم.

جرم سیم

یک قطعه سیم را در فضای سه­‌بعدی در نظر بگیرید که با منحنی $$C$$ توصیف می‌­شود. جرم بر واحد طول سیم، یک تابع پیوسته به صورت $$ rho left( {x,y,z} right) $$ است. بنابراین، جرم کل سیم از طریق انتگرال خطی تابع اسکالر به صورت زیر بیان می‌­شود:

$$ large m = int limits _ C { rho left ( { x , y , z } right ) d s } . $$

اگر منحنی $$C$$ به وسیله تابع برداری $$ mathbf { r } left ( t right ) = left ( { x left ( t right ) , y left ( t right ) , z left ( t right ) } right ) $$ بیان شده باشد، آنگاه می‌توان جرم را با استفاده از فرمول زیر محاسبه کرد:

$$ large { m text { = } } kern0pt { int limits _ alpha ^ beta { rho left ( { x left ( t right ) , y left ( t right ) , z left ( t right ) } right ) cdot } } kern0pt { { sqrt { { { left ( { frac { { d x } } { { d t } } } right ) } ^ 2 } + { { left ( { frac { { d y } } { { d t } } } right ) } ^ 2 } + { { left ( { frac { { d z } } { { d t } } } right ) } ^ 2 } } d t } } $$

اگر منحنی $$C$$ در صفحه $$xy$$ باشد، آنگاه جرم سیم به صورتِ

$$ large m = int limits _ C { rho left ( { x , y } right ) d s } $$

یا به شکل پارامتریِ

$$ large { m text { = } } kern0pt { int limits _ alpha ^ beta { rho left ( { x left ( t right ) , y left ( t right ) } right ) cdot } } kern0pt { { sqrt { { { left ( { frac { { d x } } { { d t } } } right ) } ^ 2 } + { { left ( { frac { { d y } } { { d t } } } right ) } ^ 2 } } d t } . } $$

به دست خواهد آمد.

مرکز جرم و گشتاورهای لختی یک سیم

سیمی با تابع چگالی پیوسته $$ rho left( {x,y,z} right)$$ را در نظر بگیرید که توسط منحنی $$C$$ تعریف می‌شود. مختصات مرکز جرم این سیم را می‌توان با کمک روابط زیر تعیین کرد:

$$ large { bar x = frac { { { M _ { y z } } } } { m } , ; ; ; } kern0pt { bar y = frac { { { M _ { x z } } } } { m } , ; ; ; } kern0pt { bar z = frac { { { M _ { x y } } } } { m } } $$

که در آن، عباراتِ

$$ large begin{align*}
{ M _ { y z } } & = int limits _ C { x rho left ( { x , y , z } right ) d s } , ; ; ; kern-0.3pt \
{ M _ { x z } } & = int limits _ C { y rho left ( { x , y , z } right ) d s } , ; ; ; kern-0.3pt \ { M _ { x y } } & = int limits _ C { z rho left ( { x , y , z } right ) d s }
end {align*} $$

گشتاورهای اول نامیده می­‌شوند.

گشتاورهای لختی حول محور $$x$$، $$y$$ و $$z$$ با استفاده از روابط زیر به دست می‌آیند:

$$ large begin{align*}
{ I _ x } & = int limits _ C { left ( { { y ^ 2 } + { z ^ 2 } } right ) rho left ( { x , y , z } right ) d s } , ; ; kern-0.3pt \ { I _ y } & = int limits _ C { left ( { { x ^ 2 } + { z ^ 2 } } right ) rho left ( { x , y , z } right ) d s } , ; ; kern-0.3pt \ { I _ z } &= int limits _ C { left ( { { x ^ 2 } + { y ^ 2 } } right ) rho left ( { x , y , z } right ) d s }
end {align*} $$

کار

کار انجام شده توسط نیروی $$ mathbf{F}$$ وارد بر یک جسم متحرک در راستای منحنی $$C$$، با استفاده از انتگرال خطی محاسبه می‌شود:

$$ large W = int limits _ C { mathbf { F } cdot d mathbf { r } } $$

که در آن، $$ mathbf{F}$$ میدان برداری نیروی وارد بر جسم، $$dmathbf{r}$$ بردار یکه مماس و $${mathbf{F} cdot dmathbf{r}}$$ ضرب داخلی $$ mathbf{F}$$ و $$dmathbf{r}$$ است (شکل ۱).

شکل 1
شکل ۱

توجه داشته باشید که میدان نیروی $$ mathbf{F}$$ لزوماً علت حرکت جسم نیست. ممکن است نیروهای دیگری برای غلبه بر میدان نیرو نیز وجود داشته باشند. در این حالت، کار نیروی $$ mathbf{F}$$ می‌­تواند یک مقدار منفی باشد.

اگر میدان برداری به شکل مختصاتیِ

$$ large { mathbf { F } text { = } } kern0pt { left ( { P left ( { x , y , z } right ) , Q left ( { x , y , z } right ) , } right . } kern0pt { left . { R left ( { x , y , z } right ) } right ) } $$

تعریف شود، آنگاه کار انجام شده توسط این نیرو به صورت زیر محاسبه می‌­شود:

$$ large { W = int limits _ C { mathbf { F } cdot d mathbf { r } } } = { int limits _ C { P d x + Q d y + R d z } . } $$

اگر جسم در صغحه $$xy$$ در راستای منحنی $$C$$ جابه‌جا شود، داریم:

$$ large { W = int limits _ C { mathbf { F } cdot d mathbf { r } } } = { int limits _ C { P d x + Q d y } } $$

که در آن، $$ mathbf { F } = left ( { P left ( { x , y } right ) , Q left ( { x , y } right ) } right ) $$.

اگر مسیر $$C$$ با پارامتر $$t$$ (که غالباً زمان است) مشخص شود، برای محاسبه کار به شکل زیر عمل می‌کنیم:

$$ large begin{align*}
W & = kern0pt { int limits _ alpha ^ beta { left [ { P left ( { x left ( t right ) , y left ( t right ) , z left ( t right ) } right ) frac { { d x } } { { d t } } } right . } } + { { left . { Q left ( { x left ( t right ) , y left ( t right ) , z left ( t right ) } right ) frac { { d y } } { { d t } } } right . } } \ & , , , , , , , , + { { left . { R left ( { x left ( t right ) , y left ( t right ) , z left ( t right ) } right ) frac { { d z } }{ { d t } } } right ] d t } }
end {align*} $$

که $$t$$ از $$alpha $$ تا $$beta $$ تغییر می‌کند.

اگر میدان برداری $$ mathbf{F}$$ پایستار باشد، آنگاه کار انجام شده روی جسم متحرک از $$A$$ تا $$B$$ به صورت زیر خواهد بود:

$$ large W = u left ( B right ) – u left ( A right ) $$

که $$uleft( {x,y,z} right)$$ پتانسیل اسکالر میدان است.

قانون آمپر

انتگرال خطی میدان مغناطیسی $$mathbf{B}$$ حول مسیر بسته $$C$$ با جریان کل گذرنده از سطحی که توسط منحنی بسته $$C$$ محدود شده، برابر است با (شکل ۲):

$$ large int limits _ C { mathbf { B } cdot d mathbf { r } } = { mu _ 0 } I $$

شکل 2
شکل ۲

در اینجا $${mu _0}$$ ثابت تراوایی خلأ و برابر با $$۱٫۲۶ times {10^{ – ۶}},text{H/m}$$ است.

قانون فارادی

نیروی محرکه الکتریکی القایی $$varepsilon$$ حول حلقه بسته $$C$$ برابر است با آهنگ تغییر شار مغناطیسی عبوری $$psi $$ نسبت به زمان (شکل ۳):

$$ large { varepsilon = int limits _ C { mathbf { E } cdot d mathbf { r } } } = { – frac { { d psi } } { { d t } } . } $$

شکل 3
شکل ۳

مثال‌های کاربرد انتگرال خطی در فیزیک

در ادامه، چند مثال را از کاربردهای انتگرال خطی در فیزیک بررسی می‌کنیم.

مثال ۱

جرم یک سیم را بیابید که در راستای منحنی مسطح $$C$$ قرار دارد و چگالی آن $$rho left( {x,y} right) = 3x + 2y$$ است. منحنی $$C$$ پاره­‌خطی است که نقطه ابتدا و انتهای آن به ترتیب $$Aleft( {1,1} right)$$ و $$Bleft( {2,4} right)$$ هستند.

حل: ابتدا معادله پارامتری خط $$AB$$ را به دست می‌­آوریم:

$$ large begin{align*}
{ { frac { { x – { x _A } } } { { { x _ B } – { x _ A } } } = frac { { y – { y _ A } } } { { { y _ B } – { y _ A } } } } = { t , ; ; } } Rightarrow
{ { frac { { x – ۱ } } { { ۲ – ۱ } } = frac { { y – ۱ } } { { ۴ – ۱ } } } = { t , ; ; } } \ Rightarrow
{ { frac { { x – ۱ } } { ۱ } = frac { { y – ۱ } } { ۳ } } = { t ; ; ; } } kern0pt
{ text { : } ; ; left{ { begin {array} { * { 2 0 } { l } }
{ x = t + 1 } \
{ y = 3 t + 1 }
end{array} } right . , }
end {align*} $$

که در آن، پارامتر $$t$$ در بازه $$left[ {0,1} right]$$ قرار دارد. پس جرم سیم برابر است با:

$$ large begin{align*}
m & = kern0pt { int limits _ alpha ^ beta { rho left ( { x left ( t right ) , y left ( t right ) } right ) cdot } } kern0pt { { sqrt { { { left ( { frac { { d x } } { { d t } } } right ) } ^ 2 } + { { left ( { frac { { d y } } { { d t } } } right ) }^ 2 } } d t } } \
& = { { int limits _ 0 ^ 1 { left ( { 3 x left ( t right ) + 2 y left ( t right ) } right ) cdot } } kern0pt { { sqrt { { { left ( { frac { { d x } } { { d t } } } right ) } ^ 2 } + { { left ( { frac { { d y} } { { d t } } } right ) } ^ 2} } d t } } } \ &
= { int limits _ 0 ^ 1 { left ( { 9 t + 5 } right ) sqrt { { 1 ^ 2 } + { 3 ^ 2 } } d t } }
= { sqrt { 1 0 } int limits _ 0 ^ 1 { left ( { 9 t + 5 } right ) d t } } \ &
= { sqrt { 1 0 } left [ { left . { left ( { frac { { 9 { t ^ 2 } } } { 2 } + 5 t } right ) } right | _ 0 ^ 1 } right ] }
= { frac { { 1 9 sqrt { 1 0 } } } { 2 } } approx { 30 . }
end {align*} $$

مثال ۲

جرم یک سیم با چگالی $$rho left( {x,y} right) = xy$$ را تعیین کنید که در امتداد قوسی از دایره $${x^2} + {y^2} = 1 $$ از $$Aleft( {1,0} right)$$ تا $$Bleft( {0,1} right)$$ قرار گرفته است (شکل ۴).

شکل 4
شکل ۴

حل: ابتدا معادلات پارامتری دایره­ای به شعاع $$۱$$ را می‌نویسیم که مرکز آن در مبدأ واقع شده است:

$$ large { x = cos t , ; ; ; } kern0pt { y = sin t } $$

که در آن، پارامتر $$t$$ در بازه $$left[ {0,{largefrac{pi }{2}normalsize}} right]$$ است. در نتیجه جرم سیم به صورت زیر خواهد بود:

$$ large begin{align*}
m & = kern0pt { int limits _ alpha ^ beta { rho left ( { x left ( t right ) , y left ( t right ) } right ) cdot } } kern0pt { { sqrt { { { left ( { frac { { d x } } { { d t } } } right ) } ^ 2 } + { { left ( { frac { { d y } } { { d t } } } right ) } ^ 2 } } d t } } \ &
= { { int limits _ 0 ^ { large frac { pi } { 2 } normalsize } { x left ( t right ) y left ( t right ) cdot } } kern0pt { { sqrt { { { left ( { frac { { d x } } { { d t } } } right ) } ^ 2 } + { { left ( { frac { { d y } } { { d t } } } right ) } ^ 2 } } d t } } } \ &
= { { int limits _ 0 ^ { large frac { pi } { 2 } normalsize } { cos t sin t cdot } } kern0pt { { sqrt { { { left ( { frac { { d cos t } } { { d t } } } right ) } ^ 2 } + { { left ( { frac { { d sin t } } { { d t } } } right ) } ^ 2 } } d t } } } \ &
= { { int limits _ 0 ^ { large frac { pi } { 2 } normalsize } { cos t sin t cdot } } kern0pt { { sqrt { { { left ( { – sin t } right ) } ^ 2 } + { { left ( { cos t } right ) } ^ 2 } } d t } } } \ &
= { int limits _ 0 ^ { large frac { pi } { 2 } normalsize } { cos t sin t d t } }
= { frac { 1 } { 2 } int limits _ 0 ^ { large frac { pi } { 2 } normalsize } { sin 2 t d t } } \ &
= { frac { 1 } { 4 } left [ { left . { left ( { – cos 2 t } right ) } right | _ 0 ^ { large frac { pi } { 2 } normalsize } } right ] }
= { frac { 1 } { 4 } left ( { – cos pi + cos 0 } right ) }
= { frac { 1 } { 2 } . }
end {align*} $$

مثال ۳

گشتاور لختی $${I_x}$$ دایره $${x^2} + {y^2} = {a^2}$$ با چگالی $$rho = 1$$ را به دست آورید.

حل: معادله پارامتری دایره به صورت زیر است:

$$ large { left{ begin {array} {l}
x = a cos t \
y = a sin t
end {array} right.,;;;}kern-0.3pt { 0 le t le 2 pi . } $$

گشتاور لختی $${I_x}$$ حول محور $$x$$ با استفاده از رابطه زیر محاسبه می­‌شود:

$$ large begin{align*}
{ I _ x } & = int limits _ C { { y ^ 2 }rho d s } \ & = { int limits _ 0 ^ { 2 pi } { { { left ( { y left ( t right ) } right ) } ^ 2 } rho left ( { x left ( t right ) , y left ( t right ) } right ) cdot } kern0pt { sqrt { { { left ( { frac { { d x } } { { d t } } } right ) } ^ 2 } + { { left ( { frac { { d y } } { { d t } } } right ) } ^ 2 } } d t . } }
end {align*} $$

بنابراین، داریم:

$$ large begin{align*}
{ I _ x } & = kern0pt { int limits _ 0 ^ { 2 pi } { { { left ( { a sin t } right ) } ^ 2 } cdot 1 cdot } } kern0pt { { sqrt { { { left ( { frac { { d left ( { a cos t } right ) } } { {d t } } } right ) } ^ 2 } + { { left ( { frac { { d left ( { a sin t } right ) } } { { d t } } } right ) } ^ 2 } } d t } } \ & = { { int limits _ 0 ^ { 2 pi } { { a ^ 2 } { { sin } ^ 2 } t cdot } } kern0pt { { sqrt { { { left ( { – a sin t } right ) } ^ 2 } + { { left ( { a cos t } right ) } ^ 2 } } d t } } } \ & = { { int limits _ 0 ^ { 2 pi } { { a ^ 3 } { { sin } ^ 2 } t cdot } kern0pt { sqrt { { { sin } ^ 2 } t + { { cos } ^ 2 } t } d t } } } = { { a ^ 3 } int limits _ 0 ^ { 2 pi } { { { sin } ^ 2 } t , d t } } \ & = { { a ^ 3 } int limits _ 0 ^ { 2 pi } { frac { { 1 – cos 2 t } } { 2 } d t } } = { frac { { { a ^ 3 } } } { 2 } int limits _ 0 ^ { 2 pi } { left ( { 1 – cos 2 t } right ) d t } } \ & = { frac { { { a ^ 3 } } } { 2 } left [ { left . { left ( { t – frac { { sin 2 t } } { 2 } } right ) } right | _ 0 ^ { 2 pi } } right ] } = { frac { { { a ^ 3 } } } { 2 } left ( { 2 pi – ۰ } right ) } = { pi { a ^ 3 } . }
end {align*} $$

مثال ۴

کار انجام شده توسط میدان نیروی $$mathbf{F}left( {x,y} right)$$ روی یک جسم متحرک را از مبدأ $$Oleft( {0,0} right)$$ تا نقطه $$Aleft( {1,1} right)$$ در راستای مسیر $$C$$ برای دو حالت زیر محاسبه کنید:

  1. $$C$$ پاره‌خط $$y = x$$ باشد.
  2. $$C$$ منحنی $$y = sqrt x$$ باشد.

حل ۱: کار در امتداد پاره‌خط $$y = x$$ را محاسبه می‌کنیم:

$$ large begin{align*}
{ W _ 1 } & = int limits _ C { mathbf { F } cdot d mathbf { r } } = { int limits _ C { P d x + Q d y } } = { int limits _ C { x y d x + left ( { x + y } right ) d y } } \ & = { int limits _ 0 ^ 1 { x cdot x d x + left ( { x + x } right ) d x } } = { int limits _ 0 ^ 1 { left ( { { x ^ 2 } + 2 x } right ) d x } } \ &= { left . { left ( { frac { { { x ^ 3 } } } { 3 } + { x ^ 2 } } right ) } right | _ 0 ^ 1 } = { frac { 1 } { 3 } + 1 } = { frac { 4 } { 3 } .}
end {align*} $$

حل ۲: هنگامی که جسم در امتداد منحنی $$y = sqrt x$$ حرکت می­‌کند، کار انجام شده برابر است با:

$$ large begin{align*}
{ W _ 2 } & = int limits _ C { mathbf { F } cdot d mathbf { r } } = { int limits _ C { P d x + Q d y } } = { int limits _ C { x y d x + left ( { x + y } right ) d y } } \ & = { int limits _ 0 ^ 1 { x cdot sqrt x d x } + { left ( { x + sqrt x } right ) frac { { d x } } { { 2 sqrt x } } } } = { int limits _ 0 ^ 1 { left ( { { x ^ { large frac { 3 } { 2 } normalsize } } + frac { { { x ^ { large frac { 1 } { 2 } normalsize } } } }{ 2 } + frac { 1 } { 2 } } right ) d x } } \ & = { left . { left ( { frac { { { x ^ { large frac { 5 } { 2 } normalsize } } } } { { frac { 5 } { 2 } } } + frac { { { x ^ { large frac { 3 } { 2 } normalsize } } } } { { 2 cdot frac { 3 } { 2 } } } + frac { x } { 2 } } right ) } right | _ 0 ^ 1 } = { frac { 2 } { 5 } + frac { 1 } { 3 } + frac { 1 } { 2 } } = { frac { { 3 7 } } { { 3 0 } } . }
end {align*} $$

مثال ۵

یک جسم به جرم $$m$$ با سرعت اولیه $$v_0$$ تحت زاویه $$alpha$$ پرتاب می‌­شود (شکل ۵). کار انجام شده توسط نیروی گرانشی $$mathbf{F} = mmathbf{g}$$ را تا زمانی که جسم به زمین برخورد می­‌کند، به دست آورید.

شکل ۵
شکل ۵

حل: ابتدا معادله مسیر را به شکل پارامتری می‌نویسیم ($$t$$ زمان است):

$$ large begin {align*} x & = { v _ { 0 x } } t = { { v _ 0 } cos alpha cdot t,}\
y & = { v _ { 0 y } } t – frac { { g { t ^ 2 } } } { 2 } = { { v _ 0 } sin alpha cdot t – frac { { g { t ^ 2 }} } { 2 } . }
end {align*} $$

در لحظه برخورد، $$y=0$$، زمان سقوط برابر است با:

$$ large begin {align*}
& { { v _ 0 } sin alpha cdot t – frac { { g { t ^ 2 } } } { 2 } = 0 , ; ; } \ & Rightarrow { t left ( { { v _ 0 } sin alpha – frac { { g t } } { 2 } } right ) = 0 , ; ; } Rightarrow { t = frac { { 2 { v _ 0 } sin alpha } } { g } .}
end {align*} $$

نیروی گرانشی را می­‌توان به صورت $$ mathbf { F } = m mathbf { g } = m left ( { 0 , – g } right ) $$ نوشت. پس کار انجام شده روی جسم متحرک در امتداد این مسیر به صورت زیر خواهد بود:

$$ large begin {align*}
W & = int limits _ alpha ^ beta { left ( { P frac { { d x } } { { d t } } + Q frac { { d y } } { { d t } } } right ) d t }
= { int limits _ 0 ^ { large frac { { 2 { v _ 0 } sin alpha } } { g } normalsize } { left ( { 0 cdot frac { { d x } } { { d t } } – g cdot frac { { d y } } { { d t } } } right ) d t } } \
& = { – g int limits _ 0 ^ { large frac { { 2 { v _ 0 } sin alpha } } { g } normalsize } { left ( { frac { { d y } } { { d t } } } right ) d t } }
= { – g int limits _ 0 ^ { large frac { { 2 { v _ 0 } sin alpha } } { g } normalsize } { d y left ( t right ) } } \
& = – g left [ { left . { y left ( t right ) } right |_ { t = 0 } ^ { large frac { { 2 { v _ 0 } sin alpha } } { g } normalsize } } right ] = kern0pt
{ – g left [ { left . { left ( { { v _ 0 } sin alpha t – frac { { g { t ^ 2 } } } { 2 } } right ) } right | _ { t = 0 } ^ { large frac { { 2 { v _ 0 } sin alpha } } { g } normalsize } } right ] } \ &
= { – g left ( { frac { { 2 v _ 0 ^ 2 , { { sin } ^ 2 } alpha } } { g } – frac { { 4 g v _ 0 ^ 2 , { { sin } ^ 2 } alpha } }{ { 2 { g ^ 2 } } } } right ) } = { 0 . }
end {align*} $$

با توجه به رابطه زیر، نیروی گرانشی زمین پایستار است:

$$ large frac { { partial Q } } { { partial x } } = frac { { partial P } } { { partial y } } = 0 . $$

پتانسیل اسکالر میدان را می‌­توان به شکل کلی زیر نوشت:

$$ large begin {align*}
u left ( { x , y } right ) & = { int { P d x } + { C _ 1 } left ( y right ) } \ &= { int { 0 d x } + { C _ 1 } left ( y right ) } = { { C _ 0 } + { C _ 1 } left ( y right ) . }
end {align*} $$

با استفاده از $$ { large frac { { partial u } } { { partial y } } normalsize } = Q left ( { x , y } right ) = – g $$، داریم:

$$ large { frac { d } { { d y } } { C _ 1 } left ( y right ) = – g , ; ; } Rightarrow { { C _ 1 } left ( y right ) = – g y + { C _ 2 } .} $$

بنابراین، پتانسیل میدان گرانشی برابر است با:

$$ large { u left ( { x , y } right ) = { C _ 0 } – g y + { C _ 2 } } = { C – g y . } $$

که در آن، $$C$$ یک ثابت است و می‌توان آن را برابر با صفر قرار داد. در نتیجه، پتانسیل میدان به صورت زیر خواهد بود:

$$ large u left ( { x , y } right ) = – g y . $$

از این رو، کار انجام شده روی جسم متحرک از مبدأ $$Oleft( {0,0} right)$$ تا نقطه $$Aleft( {L,0} right)$$ برابر است با:

$$ large { W = u left ( A right ) – u left ( O right ) } = { 0 . } $$

مثال ۶

میدان مغناطیسی در فاصله $$r$$ از محور یک سیم مستقیم طویل حامل جریان $$I$$ در خلأ را محاسبه کنید.

حل: برای به دست آوردن میدان در فاصله $$r$$ از سیم، حلقه‌­ای به شعاع $$r$$ را به گونه‌­ای در نظر می‌­گیریم که سیم در مرکز آن قرار گرفته و سطح آن نیز بر سیم حامل جریان $$I$$ عمود باشد (شکل ۶).

شکل ۶
شکل ۶

از آنجایی که میدان $$mathbf{B}$$ مقدار ثابتی دارد و بر همه جای حلقه مماس است، ضرب داخلی بردارهای $$mathbf{B}$$ و $$dmathbf{r}$$ برابر با $$Bdr$$ خواهد بود. بنابراین، می‌­توان نوشت:

$$ large { oint limits _ C { mathbf { B } cdot d mathbf { r } } = oint limits _ C { B d r } } = { B oint limits _ C { d r } } = { 2 pi r B . } $$

در نتیجه داریم:

$$ large 2 pi r B = { mu _ 0 } I $$

یا

$$ large B = frac { { { mu _ 0 } I } } { { 2 pi r } } . $$

مثال ۷

بیشینه نیروی محرکه الکتریکی $$varepsilon$$ و میدان الکتریکی $$E$$ القایی در حلقه انگشت یک مسافر هواپیما را هنگامی که هواپیما با سرعت $$۹۰۰,text{km/h}$$ در میدان مغناطیسی زمین پرواز می­‌کند، تعیین کنید. شعاع حلقه یک سانتی‌متر است.

حل: مطابق قانون فارادی، داریم:

$$ large { varepsilon = oint limits _ C { E cdot d r } } = { – frac { { d psi } } { { d t } } . } $$

هنگامی که حلقه رسانا از میدان مغناطیسی زمین عبور می‌­کند، شار مغناطیسی عبوری $$psi $$ از حلقه تغییر خواهد کرد.

فرض کنید میدان مغناطیسی $$ mathbf {B}$$ بر سطح حلقه عمود باشد. آنگاه تغییر شار در زمان $$ Delta t $$ برابر است با:

$$ large { Delta psi = 2 r B x } = { 2 r B v Delta t } $$

که در آن،‌ $$x = vDelta t$$، $$v$$ سرعت هواپیما و $$B$$ میدان مغناطیسی زمین است. از این رابطه، نتیجه می­‌شود:

$$ large varepsilon = – frac { { d psi } } { { d t } } = 2 r B v . $$

مقادیر زیر را در نظر می‌گیریم:

$$ large { v = 9 0 0 , text { km/h } = 2 5 0 , text {m/s} , ; ; ; } kern-0.3pt { r = 1 , text {cm} = 0.01,text{m},;;;}kern-0.3pt{B = 5 times {10^{ – ۵}},text{T},} $$

در نتیجه، نیروی محرکه الکتریکی به دست می‌­آید:

$$ large { varepsilon = 2 r B v } = { 2 cdot 0 .0 1 cdot 5 times { 1 0 ^ { – ۵ } } cdot 250 } = { 0.00 0 2 5 , text{V}.} $$

همانگونه که می‌­بینیم، این مقدار برای انسان بی­‌خطر است.

میدان الکتریکی در حلقه رسانا را می‌توان با استفاده از رابطه $$varepsilon = intlimits_C {mathbf{E} cdot dmathbf{r}}$$ محاسبه کرد.

طبق تقارن مسئله، میدان الکتریکی القا شده در سراسر حلقه، مقدار ثابتی خواهد داشت و راستای آن در هر نقطه بر حلقه مماس خواهد بود. از این رو، انتگرال خطی حول حلقه برابر است با:

$$ large { varepsilon = ointlimits_C {mathbf{E} cdot dmathbf{r}} }={ ointlimits _ C { E cdot dr cdot cos 0} } = { E oint limits _ C {dr} }={ 2pi rE.} $$

در نتیجه، خواهیم داشت:

$$ large { E = frac { varepsilon } { { 2 pi r } } } = { frac { { 0.00025 } } { { 2 pi cdot 0.01 } } } = { 0.004 , text { V/m } . } $$

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است و علاقه‌مند به یادگیری مباحث مشابه هستید، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

  • مجموعه آموزش‌های دروس ریاضیات
  • آموزش ریاضیات عمومی ۲
  • مجموعه آموزش‌های دروس فیزیک
  • آموزش ریاضی فیزیک ۱
  • انتگرال توابع هیپربولیک — از صفر تا صد
  • تقلب نامه (Cheat Sheet) مفاهیم و روابط انتگرال

^^

بلی خیر

نوشته انتگرال خطی در فیزیک — به زبان ساده اولین بار در مجله فرادرس. پدیدار شد.

درباره ی admin

مطلب پیشنهادی

جستجوی تمام متن در لاراول با استفاده از Scout — به زبان ساده

جستجوی تمام متن یک قابلیت ضروری جهت فراهم ساختن امکان حرکت در میان صفحه‌های وب‌سایت‌های با محتوای گسترده است. در این مقاله، شیوه پیاده‌سازی امکان جستجوی تمام متن را برای یک اپلیکیشن لاراول بررسی می‌کنیم. در واقع ما از کتابخانه Scout لاراول استفاده می‌کنیم که پیاده‌سازی جستجوی تمام متن را به امری ساده و جذاب تبدیل کرده است. مستندات رسمی، کتابخانه Scout لاراول را به صورت زیر توصیف می‌کنند: کتابخانه Scout لاراول یک راه‌حل ساده و مبتنی بر درایور برای افزودن امکان جستجوی تمام متن به مدل‌های Eloquent ارائه می‌کند. Scout با استفاده از «مشاهده‌گرهای مدل» (model observers) به طور خودکار اندیس‌های جستجو را در وضعیتی همگام‌سازی شده با رکوردهای Eloquent حفظ می‌کند. کتابخانه Scout لاراول به مدیریت دستکاری اندیس‌ها در زمان بروز تغییراتی در داده‌های مدل می‌پردازد. جایی که داده‌های اندیس می‌شوند به درایوری وابسته است که برای کتابخانه Scout پیکربندی‌شده است. در حال حاضر کتابخانه Scout از Algolia پشتیبانی می‌کند که یک API موتور جستجوی مبتنی بر کلود است و ما نیز در این مقاله از آن برای نمایش پیاده‌سا..

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *