خانه / fd / عملگر دیفرانسیلی — از صفر تا صد

عملگر دیفرانسیلی — از صفر تا صد

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، با معادلات دیفرانسیل آشنا شدیم. در این آموزش‌ها، روش‌های حل معادلات دیفرانسیل مرتبه اول، معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم و معادلات مرتبه بالاتر را معرفی کردیم. همچنین به روش حل معادلات خاص، مانند معادله لاگرانژ و معادله کلرو پرداختیم. در این آموزش، یکی از ابزارهای حل معادلات دیفرانسیل،‌ یعنی «عملگر دیفرانسیلی» (Differential Operator) را معرفی می‌کنیم.

تعریف عملگر دیفرانسیلی

عملگرها یا اپراتورهای دیفرانسیلی، تعمیمی از عملیات مشتق‌گیری هستند. ساده‌ترین عملگر دیفرانسیلی $$D$$ روی تابع $$y$$ عمل کرده و مشتق اول آن را نتیجه می‌دهد:

$$ large D y left ( x right ) = y ’ left ( x right ) . $$

دو بار اعمال $$D$$ منجر به مشتق دوم $$y(x)$$ می‌شود:

$$ large { { D ^ 2 } y left ( x right ) = D left ( { D y left ( x right ) } right ) } = { D y ’ left ( x right ) } = { y ^ { prime prime } left ( x right ) . } $$

به طریق مشابه، توان $$n$$اُم $$D$$، مشتق مرتبه $$n$$‌ را به دست می‌دهد:

$$ large { D ^ n } y left ( x right ) = { y ^ { left ( n right ) } } left ( x right ) . $$

در اینجا فرض می‌کنیم می‌توان $$n$$ بار از تابع $$y(x)$$ مشتق گرفت.

عملگرهای دیفرانسیلی ممکن است بسته به توصیف دیفرانسیل پیچیده‌تر باشند؛ برای مثال، عملگر دیفرانسیلی نابلا (Nabla) اغلب در تحلیل برداری استفاده و به صورت زیر تعریف می‌شود:

$$ large nabla = frac { partial } { { partial x } } mathbf { i } + frac { partial } { { partial y } } mathbf { j } + frac { partial } { { partial z } } mathbf { k } $$

که در آن $$ mathbf{i}$$، $$mathbf{j} $$ و $$ mathbf{k} $$ بردارهای یکه در طول محورهای مختصات $$x$$، $$y$$ و $$z$$ هستند.

در نتیجه اِعمال عملگر $$ nabla $$ بر یک میدان اسکالر $$F$$،‌ گرادیان میدان برداری $$F$$ به دست می‌آید:

$$ large { nabla F } = { frac { { partial F } } { { partial x } } mathbf { i } + frac { { partial F } } { { partial y } } mathbf { j } } + { frac { { partial F } } { { partial z } } mathbf { k } . } $$

بردار گرادیان همیشه جهت بزرگترین افزایش تابع $$F$$ را نشان می‌دهد و طول آن، نرخ افزایش تابع را در این جهت مشخص می‌کند.

ضرب اسکالر یا ضرب داخلی بردار $$ nabla$$ و میدان برداری $$ mathbf{V} $$ به عنوان دیورژانس بردار $$ mathbf{V} $$ شناخته می‌شود:

$$ large { nabla cdot mathbf { V } = text {div} , mathbf { V } } = { frac { { partial { V _ x } } } { { partial x } } + frac { { partial { V _ y } } } { { partial y } } + frac { { partial { V _ z } } } { { partial z } } . } $$

ضرب برداری دو بردار $$ nabla$$ و $$ mathbf{V} $$، کرل بردار $$ mathbf{V} $$ را نتیجه می‌دهد:

$$ large { nabla times mathbf { V } = text {rot} , mathbf { V } }
= { left | { begin {array} { * { 2 0 } { c } }
mathbf { i } & mathbf { j } & mathbf { k } \
{ frac { partial } { { partial x } } } & { frac { partial } { { partial y } } } & { frac { partial } { { partial z } } } \
{ { V _ x } } & { { V _ y } } & { { V _ z } }
end{array} } right | . } $$

ضرب نقطه‌ای $$ nabla cdot nabla = {nabla ^2} $$، متناظر با یک عملگر دیفرانسیلی اسکالر است که عملگر لاپلاس یا لاپلاسین نامیده شده و با نماد $$ Delta $$ نشان داده می‌شود:

$$ large { Delta = { nabla ^ 2 } } = { frac { { { partial ^ 2 } } } { { partial { x ^ 2 } } } + frac { { { partial ^ 2 } } }{ { partial { y ^ 2 } } } + frac { { { partial ^ 2 } } } { { partial { z ^ 2 } } } . } $$

اکنون که با عملگرهای دیفرانسیلی آشنا شدیم، کاربرد این عملگر را در معادلات دیفرانسیل معرفی می‌کنیم.

عملگر دیفرانسیلی $$ Large {L(D)}$$

معادله دیفرانسیل خطی مرتبه $$n$$ زیر را در نظر بگیرید:‌

$$ large { { y ^ { left ( n right ) } } left ( x right ) } + { { a _ 1 } left ( x right ) { y ^ { left ( { n – ۱ } right ) } } left ( x right ) + cdots }
+ { { a _ { n – ۱ } } left ( x right ) y ’ left ( x right ) } + { { a _ n } left ( x right ) y left ( x right ) } = { f left ( x right ) . } $$

با استفاده از عملگر $$D$$، معادله دیفرانسیل بالا را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$$ large L left ( D right ) y left ( x right ) = f left ( x right )$$

که در آن، $$L(D)$$ چندجمله‌ای دیفرانسیل زیر است:

$$ large { L left ( D right ) } = { { D ^ n } + { a _ 1 } left ( x right ) { D ^ { n – ۱ } } + cdots } + { { a _ { n – ۱ } } left ( x right ) D } + { { a _ n } left ( x right ) . } $$

به‌ عبارت دیگر، عملگر $$L(D)$$، یک چندجمله‌ای جبری است که در آن، عملگر دیفرانسیلی $$D$$ نقش یک متغیر را بازی می‌کند.

در ادامه، چند ویژگی عملگر $$L(D)$$ را بررسی می‌کنیم:‌

۱٫ عملگر $$L(D)$$ خطی است:

$$ large { L left ( D right ) left [ { { C _ 1 } { y _ 1 } left ( x right ) + { C _ 2 } { y _ 2 } left ( x right ) } right ] }
= { { C _ 1 } L left ( D right ) { y _ 1 } left ( x right ) } + { { C _ 2 } L left ( D right ) { y _ 2 } left ( x right ) . } $$

در حالتی که چند عملگر $$L(D)$$، $$M(D)$$ و $$N(D)$$ داشته باشیم (درجه چندجمله‌ای‌ها می‌تواند متفاوت باشد)، روابط زیر برقرار است:

۲٫ ویژگی جابه‌جاپذیری:

$$ large { L left ( D right ) + M left ( D right ) } = { M left ( D right ) + L left ( D right ) . } $$

۳٫ ویژگی انجمنی یا شرکت‌پذیری:

$$ large { left [ { L left ( D right ) + M left ( D right ) } right ] + N left ( D right ) }
= { L left ( D right ) + left [ { M left ( D right ) + N left ( D right ) } right ] . } $$

برای دو عملگر $$L(D)$$ و $$M(D)$$، عمل ضرب را می‌توان تعریف کرد:

$$ large { left [ { L left ( D right ) cdot M left ( D right ) } right ] y left ( x right ) } = { L left ( D right ) cdot left [ { M left ( D right ) y left ( x right ) } right ] . } $$

لازم به ذکر است که عمل ضرب برای عملگرهای دیفرانسیلی با ضرایب ثابت، جابه‌جایی‌پذیر است؛ یعنی برای عملگرهایی به فرم $$ { L left ( D right ) } = { { D ^ n } + { a _ 1 } { D ^ { n – ۱ } } + cdots } + { { a _ { n – ۱ } } D + { a _ n } } $$ که $$ {a_1}, ldots ,{a_n} $$ اعداد ثابتی هستند، ویژگی‌های چهار تا شش برقرار است:‌

۴٫ قانون جابه‌جایی‌پذیری ضرب:

$$ large { L left ( D right ) cdot M left ( D right ) } = { M left ( D right ) cdot L left ( D right ) } $$

۵. قانون شرکت‌‌پذیری ضرب:‌

$$ large { { left [ { L left ( D right ) cdot M left ( D right ) } right ] cdot N } kern0pt { left ( D right ) } }
= { { L left ( D right ) cdot } kern0pt { left [ { M left ( D right ) cdot N left ( D right ) } right ] } } $$

۶. قانون توزیع ضرب روی جمع:

$$ large { { L left ( D right ) cdot } kern0pt { left [ { M left ( D right ) + N left ( D right ) } right ] } }
= { L left ( D right ) cdot M left ( D right ) } + { L left ( D right ) cdot N left ( D right ) } $$

۷. یک ویژگی مفید دیگر عملگر $$D$$ به صورت زیر است:

$$ large { D ^ m } { D ^ n } = { D ^ { m + n } } . $$

همان‌طور که می‌بینیم، عملگرهای دیفرانسیلی $$L(D)$$ با ضرایب ثابت، ویژگی‌های مشابهی با چندجمله‌های‌های جبری معمولی دارند. در نتیجه، مانند چندجمله‌ای‌های جبری، می‌توان عملگرهای $$L(D)$$ با ضرایب ثابت را ضرب و تقسیم کرد و از آن‌ها فاکتور گرفت. این ویژگی‌ها در حل معادلات دیفرانسیل مورد استفاده قرار می‌گیرند.

مثال‌ها

در ادامه،‌ چند مثال از عملگرهای دیفرانسیلی و کاربرد آن‌ها بیان می‌شود.

مثال ۱

صحت قانون جابه‌جاپذیری ضرب را برای عملگرهای $$ L = {D^2} + 1 $$ و $$ M = 2D +3 $$ تحقیق کنید.

حل: ابتدا $$ LMy $$ را محاسبه می‌کنیم:

$$ large { M y = left ( { 2 D + 3 } right ) y } = { 2 y ’ + ۳ y . } $$

بنابراین، عبارت دیفرانسیلی زیر به دست می‌آید:‌

$$ large { L M y = L left ( { M y } right ) }
= { left ( { { D ^ 2 } + 1 } right ) left ( { 2 y ’ + ۳ y } right ) } \ large
= { 2 y ^ { prime prime prime } + 3 y ^ { prime prime } + 2 y ’ + ۳ y }
= { left ( { 2 { D ^ 3 } + 3 { D ^ 2 } + 2 D + 3 } right ) y . } $$

اکنون $$ MLy $$ را محاسبه می‌کنیم:

$$ large { L y = left ( { { D ^ 2 } + 1 } right ) y } = { y ^ { prime prime } + y . } $$

بنابراین:

$$ large { M L y = M left ( { L y } right ) }
= { left ( { 2 D + 3 } right ) left ( { y ^ { prime prime } + y } right ) } \ large
= { 2 y ^ { prime prime prime } + 3 y ^ { prime prime } + 2 y ’ + ۳ y }
= { left ( { 2 { D ^ 3 } + 3 { D ^ 2 } + 2 D + 3 } right) y . } $$

می‌بینیم که قانون جابه‌جایی‌پذیری ضرب برای این دو عملگر برقرار است (برای هر عملگر $$L(D)$$ با ضرایب ثابت برقرار است).

مثال ۲

صحت قانون جابه‌جاپذیری ضرب را برای عملگرهای $$ L = xD – ۱ $$ و $$ M = {D^2} + {x^2} $$ تحقیق کنید.

حل: ابتدا عبارت دیفرانسیلی $$LMy$$ را محاسبه می‌کنیم:

$$ large { M y = left ( { { D ^ 2 } + { x ^ 2 } } right ) y } = { y ^ { prime prime } + { x ^ 2 } y , } \ large { L M y = L left ( { M y } right ) }
= { left ( { x D – ۱ } right ) left ( { y ^ { prime prime } + { x ^ 2 } y } right ) } \ large
= { { x y ^ { prime prime prime } – y ^ { prime prime } } + { x left ( { 2 x y + { x ^ 2 } y ’ } right ) – { x ^ 2 } y } } \ large
= { { x y ^ { prime prime prime } – y ^ { prime prime } + 2 { x ^ 2 } y } + { { x ^ 3 } y ’ – { x ^ 2 } y } } \ large
= { x y ^ { prime prime prime } – y ^ { prime prime } + { x ^ 3 } y ’ + { x ^ 2 } y }
= { left ( { x { D ^ 3 } – { D ^ 2 } + { x ^ 3 } D + { x ^ 2 } } right ) y . } $$

به طریق مشابه،‌ $$MLy$$ را محاسبه و نتایج را مقایسه می‌کنیم:

$$ large { L y = left ( { x D – ۱ } right ) y } = { x y ’ – y ,} require{cancel}
{ M L y = M left ( { L y } right ) } \
= { left ( { { D ^ 2 } + { x ^ 2 } } right ) left ( { x y ’ – y } right ) }
= { { D left ( { y ’ + x y ^ { prime prime } } right ) } + { { x ^ 3 } y ’ – y ^ { prime prime } – { x ^ 2 } y } } \ large
= { { y ^ { prime prime } + cancel { y ^ { prime prime } } + x y ^ { prime prime prime } } – { cancel { y ^ { prime prime } } + { x ^ 3 } y ’ – { x ^ 2 } y } } \ large
= { x y ^ { prime prime prime } + y ^ { prime prime } + { x ^ 3 } y ’ – { x ^ 2 } y } = { left ( { x { D ^ 3 } + { D ^ 2 } + { x ^ 3 } D – { x ^ 2 } } right ) y . } $$

همان‌طور که می‌بینیم، عملگرهای $$L$$ و $$M$$ نتایج متفاوتی دارند. این عدم تشابه برای عملگرهایی با ضرایب متغیر، قابل انتظار است.

مثال ۳

یک جواب خصوصی معادله دیفرانسیل $$ y^{primeprimeprime} + 3y = {e^{2x}} $$ را با استفاده از روش عملگر بیابید.

حل: عملگر دلخواه $$L(D)$$ با ضرایب ثابت را در نظر بگیرید که به تابع نمایی $$ {e^{kx}} $$ اعمال می‌شود:

$$ large { L left ( D right ) { e ^ { k x } } } = { left ( { { k ^ n } + { a _ 1 } { k ^ { n – ۱ } } + cdots + { a _ n } } right ){ e ^ { k x } } }
= { L left ( k right ) { e ^ { k x } } . } $$

در نتیجه می‌توان نوشت:

$$ large L left ( D right ) left [ { frac { { { e ^ { k x } } } } { { L left ( k right ) } } } right ] = { e ^ { k x } } . $$

از آن‌جایی که معادله دیفرانسیل به فرم عملگرِ

$$ large Lleft( D right)y = {e^{kx}} $$

نوشته می‌شود، یکی از جواب‌ها تابع زیر خواهد بود:

$$ large { y _ 1 } = frac { { { e ^ { k x } } } } { { L left ( k right ) } } . $$

در این مثال، عملگر برابر است با:

$$ large L left ( D right ) = { D ^ 3 } + 3 . $$

بنابراین، جواب خصوصی معادله دیفرانسیل به صورت زیر است:

$$ large { { y _ 1 } = frac { { { e ^ { k x } } } } { { L left ( k right ) } } = frac { { { e ^ { k x } } } } { { { k ^ 3 } + 3 } } }
= { frac { { { e ^ { 2 x } } } } { { { 2 ^ 3 } + 3 } } }
= { frac { { { e ^ { 2 x } } } } { { 1 1 } } . } $$

مثال ۴

یک جواب خصوصی معادله دیفرانسیل $$ large { y ^ { I V } } – y ^ { prime prime } + y = 2 sin x $$ را با استفاده از روش عملگر بیابید.

حل: معادله را می‌توان به صورت زیر نوشت:‌

$$ large { L left ( D right ) y = 2 sin x;;} $$

یا

$$ large left ( { { D ^ 4 } – { D ^ 2 } + 1 } right ) y = { 2 sin x . } $$

این چندجمله‌‌ای دیفرانسیل فقط شامل جملاتی با توان‌های زوج $$D$$ است. با اعمال عملگر $$D^2$$ بر تابع $$ Asin kx $$ داریم:

$$ large { { D ^ 2 } y = { D ^ 2 } left ( { A sin k x } right ) }
= { – { k ^ 2 } A sin k x }
= { – { k ^ 2 } y . } $$

واضح است که برای چندجمله‌ای دیفرانسیل دلخواه $$ Lleft( {{D^2}} right) $$ با ضرایب ثابت، فرمول زیر برقرار است:‌

$$ large { L left ( { { D ^ 2 } } right ) y } = { L left ( { { D ^ 2 } } right ) left ( { A sin k x } right ) }
= { L left ( { – { k ^ 2 } } right ) A sin k x }
= { L left ( { – { k ^ 2 } } right ) y . } $$

جواب خصوصی به صورت زیر است:

$$ large { y _ 1 } = frac { { A sin k x } } { { L left ( { – { k ^ 2 } } right ) } } . $$

در این مثال، سمت راست معادله برابر با $$ ۲sin x $$ است و عملگر دیفرانسیل را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$$ large { L left ( { { D ^ 2 } } right ) } = { { left ( { { D ^ 2 } } right ) ^ 2 } – { D ^ 2 } + 1 . } $$

در نتیجه، پاسخ نهایی برابر است با:

$$ large { { y _ 1 } = frac { { A sin k x } } { { L left ( { – { k ^ 2 } } right ) } } }
= { frac { { A sin k x } } { { { { left ( { – { k ^ 2 } } right ) } ^ 2 } – left ( { – { k ^ 2 } } right ) + 1 } } } \ large
= { frac { { 2 sin x } } { { { { left ( { – { ۱ ^ ۲ } } right ) } ^ 2 } – left ( { – { ۱ ^ ۲ } } right ) + 1 } } }
= { frac { { 2 sin x } } { 3 } . } $$

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

  • مجموعه آموزش‌های دروس ریاضیات
  • مجموعه آموزش های معادلات دیفرانسیل به همراه حل نمونه سئوالات آزمون کارشناسی ارشد
  • مجموعه آموزش‌های ریاضی و فیزیک
  • آموزش ریاضی پایه دانشگاهی
  • تقلب نامه (Cheat Sheet) معادلات دیفرانسیل
  • دستگاه معادلات دیفرانسیل خطی — به زبان ساده
  • معادله دیفرانسیل بسل — به زبان ساده

^^

بلی خیر

نوشته عملگر دیفرانسیلی — از صفر تا صد اولین بار در مجله فرادرس. پدیدار شد.

درباره ی admin

مطلب پیشنهادی

جستجوی تمام متن در لاراول با استفاده از Scout — به زبان ساده

جستجوی تمام متن یک قابلیت ضروری جهت فراهم ساختن امکان حرکت در میان صفحه‌های وب‌سایت‌های با محتوای گسترده است. در این مقاله، شیوه پیاده‌سازی امکان جستجوی تمام متن را برای یک اپلیکیشن لاراول بررسی می‌کنیم. در واقع ما از کتابخانه Scout لاراول استفاده می‌کنیم که پیاده‌سازی جستجوی تمام متن را به امری ساده و جذاب تبدیل کرده است. مستندات رسمی، کتابخانه Scout لاراول را به صورت زیر توصیف می‌کنند: کتابخانه Scout لاراول یک راه‌حل ساده و مبتنی بر درایور برای افزودن امکان جستجوی تمام متن به مدل‌های Eloquent ارائه می‌کند. Scout با استفاده از «مشاهده‌گرهای مدل» (model observers) به طور خودکار اندیس‌های جستجو را در وضعیتی همگام‌سازی شده با رکوردهای Eloquent حفظ می‌کند. کتابخانه Scout لاراول به مدیریت دستکاری اندیس‌ها در زمان بروز تغییراتی در داده‌های مدل می‌پردازد. جایی که داده‌های اندیس می‌شوند به درایوری وابسته است که برای کتابخانه Scout پیکربندی‌شده است. در حال حاضر کتابخانه Scout از Algolia پشتیبانی می‌کند که یک API موتور جستجوی مبتنی بر کلود است و ما نیز در این مقاله از آن برای نمایش پیاده‌سا..

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *