خانه / fd / محاسبه حجم با انتگرال سه گانه — به زبان ساده

محاسبه حجم با انتگرال سه گانه — به زبان ساده

یکی از کاربرد‌های مهم انتگرال سه‌گانه محاسبه حجم یک ناحیه است. بنابراین در این مطلب قصد داریم تا در قالب مثال نحوه محاسبه حجم با انتگرال سه گانه را توضیح دهیم.

روش محاسبه حجم

در حالت کلی ناحیه‌ای سه‌بعدی هم‌چون $$ large U $$ را در نظر بگیرید. حجم این ناحیه در مختصات کارتزینی برابر است با:

$$ large V = iiint limits_U { d x d y d z} $$

این حجم را می‌توان با استفاده از مختصات استوانه‌ای، به صورت زیر نیز محاسبه کرد.

$$ large V = iiint limits _ U { rho d rho d varphi d z } $$

به همین صورت رابطه محاسبه حجم در مختصات کروی به صورت زیر خواهد بود.

$$ large V = iiint limits _ U { { rho ^ 2 } sin theta d rho d varphi d theta } $$

در ادامه مثال‌هایی ارائه شده که در آن‌ها این روش‌ها توضیح داده شده‌اند.

مثال ۱

حجم کره‌ای به ارتفاع $$H$$ و شعاع قاعده $$R$$ را بیابید.

همان‌طور که در شکل زیر نیز می‌توان دید، این مخروط توسط دو صفحه زیر محدود شده‌اند.

$$ large z = { large frac { H } { R} normalsize} sqrt { { x ^ 2 } + { y ^ 2 } } , z = H $$

cone

حجم ناحیه فوق را می‌توان به صورت زیر محاسبه کرد.

$$ large {V = iiintlimits_U {dxdydz} }
= {intlimits_{ – R } ^ R { d x } int limits _ { – sqrt {{R^2} – { x ^ 2 } } } ^ { sqrt { { R ^ 2 } – { x ^ 2 } } } { d y } int limits _ { frac { H } { R } sqrt {{ x ^ 2 } + { y ^ 2 } } } ^ H { d z } } $$

انتگرال فوق را می‌توان در مختصات استوانه‌ای و در بازه‌های زیر محاسبه کرد.

$$ large {0 le varphi le 2pi ,;;;}kern-0.3pt
{0 le rho le R , ;;;}kern-0.3pt
{rho le z le H } $$

عبارت انتگرالی بیان شده در بالا را می‌توان در مختصات استوانه‌ای به صورت زیر بیان کرد:

$$ large V = intlimits_0^R {rho drho } intlimits_0^{2pi } {dvarphi } intlimits _ { frac { H } { R } rho } ^ H { d z } $$

نهایتا حجم مخروط برابر خواهد بود با:

$$ large begin {align*} V = & int limits _ 0 ^ R { rho d rho } int limits _ 0 ^ { 2 pi } { d varphi } intlimits_{frac{H}{R}rho }^H {dz}
\ & = {2pi intlimits_0^R {rho drho } intlimits_{frac{H}{R}rho }^H {dz} }
\ & = {2pi intlimits_0^R {rho drho } cdot left[ {left. z right|_{z = frac { H } { R } rho } ^ { z = H } } right] }
\ & = {2pi intlimits_0^R {rho left( {H – frac { H } { R} rho } right)drho } }
\ & = {2pi intlimits_0^R {left( {Hrho – frac{H}{R}{rho ^2}} right)drho } }
\ & = {2pi left[ {left. {left( {frac { { { rho ^ 2 } H } } { 2 } – frac{{{rho ^3}H}}{{3R}}} right)} right|_{rho = 0 } ^ { rho = R}} right] }
\ & = { 2 pi left( { frac { { { R ^ 2 } H } } { 2 } – frac { { { R ^ 3 } H } } { { 3 R } } } right) }
\ & = { frac { { 2 pi { R ^ 2 } H } } { 6 } }
\ & = {frac { { pi { R ^ 2 } H }} { 3 } } end {align*} $$

مثال ۲

حجم چهار وجهی را بیابید که صفحات محدود کننده آن از نقاط $$ A left ( { 1 , 0 , 0 } right ) , B ( 0 , 2 , 0 ) , C ( 0 , 0 , 3 ) $$ عبور می‌کند.

با توجه به نقاط بیان شده، شکل ناحیه به صورت زیر خواهد بود.

محاسبه حجم با انتگرال سه گانه

معادله خط $$ A B $$ برابر با $$ y = 2 – ۲x $$ است. بنابراین متغیر $$ x $$ در بازه $$ ۰ le x le 1 $$ و $$ y$$ در بازه $$large 0 le y le 2 – ۲ x $$ قرار خواهد داشت. از طرفی معادله صفحه نیز برابر است با:

$$large frac { x } { 1 } + frac { y } { 2 } + frac { z } { 3 } = 1 $$

در حالت کلی معادله صفحه $$large A B C $$ برابر است با:

$$large { 6 x + 3 y + 2 z = 6 ; ; text{or} ; ; } kern-0.3pt { z = 3 – ۳ x – frac { 3 } { 2 } y } $$

هدف از نوشتن معادله صفحه، بدست آوردن بازه $$large z $$ است. بدین منظور این بازه را از صفر تا معادله صفحه در نظر می‌گیریم. لذا بازه $$large z $$ برابر است با:

$$large 0 le z le 3 – ۳x – {largefrac{3}{2}normalsize} y $$

نهایتا حاصل انتگرال برابر است با:

$$large require{cancel} begin {align*}
V & = iiintlimits_U { d x d y d z }
\ & = {intlimits_0^1 {dx} intlimits_0^{2 – ۲x} {dy} intlimits_0^{3 – ۳x – frac{3}{2}y} {dz} }
\ & = {intlimits_0^1 {dx} intlimits_0^{2 – ۲x} {dy} cdot left[ {left. z right|_0^{3 – ۳x – frac{3}{2}y}} right] } = {intlimits_0^1 {dx} intlimits_0^{2 – ۲x} {left( {3 – ۳x – frac{3}{2}y} right)dy} }
\ & = {intlimits_0^1 {dx} cdot}kern0pt{ Big[ {left. {left( {3y – ۳xy – frac{3}{4}{y^2}} right)} right|_{y = 0}^{y = 2 – ۲x}} Big] }
\ & = {intlimits_0^1 {Big[ {3left( {2 – ۲x} right) – ۳xleft( {2 – ۲x} right) }}-{{ frac{3}{4}{{left( {2 – ۲x} right)}^2}} Big] dx} }
\ & = {intlimits_0^1 {Big[ {6 – ۶x – ۶x + 6{x^2} }}-{{ frac{3}{4}left( {4 – ۸x + 4{x^2}} right)} Big] dx} }
\ & = {intlimits_0^1 {left( { { 6 } – { ۱۲ x } +{6{x^2}} }right.}-{left.{ {3} + {6x} – {۳{x^2}}} right)dx} }
\ & = {3intlimits_0^1 {left( { {1} – { ۲ x } + { x ^ 2 } } right ) d x } }
\ & = {3left[ {left. {left( {x – { x ^ 2 } + frac { { { x ^ 3 } }} { 3 } } right)} right| _ 0 ^ 1 } right] }
\ & = {3 cdot left ( { cancel { 1 } – cancel { 1 ^ 2 } + frac { { { 1 ^ 3} } } { 3 } } right ) } = { 1 } end {align*} $$

مثال ۳

حجم ناحیه محصور بین دو سهمی گون زیر را بدست آورید.

$$large {{z_1} = {x^2} + { y ^ 2 } ; ; , ;;}kern-0.3pt { { z _ 2 } = 1 – { x ^ 2 } – { y ^ 2 } } $$

این ناحیه به شکل زیر خواهد بود.

volume by triple integral

ناحیه فوق به صورت محیطی متقارن است. بنابراین با در نظر گرفتن $$ large { rho ^ 2 } = { x ^ 2 } + { y ^ 2 } $$ رابطه دو سهموی را می‌توان به صورت زیر در نظر گرفت.

$$ large { { z _ 1 } = { rho ^ 2 } ; ; , ;;}kern-0.3pt { { z _ 2 } = 1 – { rho ^ 2 } } $$

با برابر قرار دادن رابطه دو سهمی، منحنی برخورد آن‌ها به صورت زیر بدست خواهد آمد.

$$ large { { rho ^ 2 } = 1 – {rho ^2} ; ; } Rightarrow
{ 2 { rho ^ 2 } = 1 ; ; } Rightarrow
{ { rho ^ 2 } = frac { 1 } { 2 } ; ; } kern0pt
{text{or};;z = frac { 1 } { { sqrt 2 } } = frac { { sqrt 2 } } { 2 } } $$

به ازای این مقدار از $$ large rho $$، مقدار $$ large z $$ برابر خواهد بود با:

$$ large z = { left ( { frac { { sqrt 2 } } { 2 } } right ) ^ 2 } = frac { 1 } { 2 } $$

با بدست آمدن ماکزیمم مقدار $$ large rho $$، اندازه حجم برابر می‌شود با:

$$ large begin {align*} V = & iiint limits _ U { d x d y d z } \ & = int limits _ 0 ^ { 2 pi } { d varphi int limits _ 0 ^ { frac { { sqrt 2 } } { 2 } } { rho d rho } int limits _ { { rho ^ 2 } } ^ { 1 – { rho ^ 2 } } { d z } }
\ & = { int limits _ 0 ^ { 2 pi } { d varphi } intlimits_0^{frac{{sqrt 2 }}{2}} {rho drho } cdot left[ {left. z right|_{{rho ^2}}^{1 – {rho ^2}}} right] }
\ & = {intlimits_0^{2pi } {dvarphi } intlimits_0^{frac{{sqrt 2 }}{2}} {rho left( {1 – {rho ^2} – {rho ^2}} right)drho } }
\ & = {2pi intlimits_0^{frac{{sqrt 2 }}{2}} {left( {rho – ۲{rho ^3}} right)drho } }
\ & = { 2 pi left[ {left. {left( {frac{{{rho ^2}}}{2} – frac { { 2 { rho ^ 4 } } } {4 } } right ) } right|_0 ^ { frac { { sqrt 2 } }{ 2 } } } right] }
\ & = {2pi left[ {frac{{{{left( {frac{{sqrt 2 }}{2}} right)}^2}}}{2} – frac{{{{left( {frac{{sqrt 2 }}{2}} right)}^4}}}{2}} right] }
\ & = {pi left( {frac{1}{2} – frac{1}{4}} right) }
\ & = {frac{pi }{4} } end {align*} $$

مثال ۴

حجم ناحیه محصور شده به سهمی‌گون $$ large { x ^ 2 } + { y ^ 2 } = z $$ و کره‌ی $$ large { x ^ 2 } + { y ^ 2 } + { z ^ 2 } = 6 $$ را بدست آورید.

در ابتدا باید منحنی تقاطع این دو سطح را بدست آورد. بدین منظور داریم:

$$ large { z + { z ^ 2 } = 6 ; ; } Rightarrow
{ { z ^ 2 } + z – ۶ = ۰ ; ; } Rightarrow
{ { z _ { 1 , 2 } } = frac { { – ۱ pm 5 } } { 2 } = 2 , – ۳ } $$

توجه داشته باشید که ریشه‌ منفی نشان دهنده محل برخورد کره با سطح پایینی سهمی‌گون است؛ بنابراین آن را در نظر نمی‌گیریم. منحنی برخورد دو رویه و ناحیه مدنظر در شکل زیر نشان داده شده است.

محاسبه حجم با انتگرال سه گانه

همان‌طور که در بالا نیز شرح داده شد دو رویه در $$ large z = 2 $$ با هم برخورد می‌کنند. بنابراین تصویر ناحیه برخورد، دیسکی است که درون دایره زیر قرار می‌گیرد.

$$ large { x ^ 2 } + { y ^ 2 } = 2 $$

در بالای حجم مدنظر، کره و در زیر آن سهمی قرار گرفته است. بنابراین اندازه حجم را می‌توان در مختصات کارتزینی به صورت زیر بیان کرد:

$$ large {V = iiint limits _ U { d x d y d z } }
= { int limits _ { – sqrt 2 } ^ { sqrt 2 } { d x } int limits _ 0 ^ {sqrt {2 – {x^2}} } {dy} intlimits _ { { x ^ 2 } + { y ^ 2 } } ^ { sqrt { 6 – { x ^ 2 } – { y ^ 2 } } } { d z } } $$

با توجه به ناحیه انتگرال‌گیری، مناسب آن است که انتگرال را در مختصات استوانه‌ای بنویسیم. بدین منظور انتگرال فوق را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

$$ large { V } = { int limits _ 0 ^ { 2 pi } { d varphi } int limits _ 0 ^ { sqrt 2 } { rho d rho } int limits _ { { rho ^ 2 } } ^ { sqrt { 6 – { rho ^ 2 } } } { d z } } $$

توجه داشته باشید که در رابطه فوق، $$ large rho $$ در رابطه $$ large {rho ^2} = {x^2} + {y^2} $$ صدق می‌کند. حاصل انتگرال به صورت زیر ساده می‌شود.

$$ large begin {align*} V & = int limits _ 0 ^ { 2 pi } { d varphi } int limits _ 0 ^ {sqrt 2 } {rho drho } intlimits_{{rho ^2}}^{sqrt {6 – {rho ^2}} } {dz}
\ & = {intlimits_0^{2pi } {dvarphi } intlimits_0^{sqrt 2 } {rho drho } cdot left[ {left. z right|_{{rho ^2}}^{sqrt {6 – {rho ^2}} }} right] }
\ & = {intlimits_0^{2pi } {dvarphi } intlimits_0^{sqrt 2 } {rho left( {sqrt {6 – {rho ^2}} – {rho ^2}} right)drho } } \ & = {2pi intlimits_0^{sqrt 2 } {rho left( {sqrt {6 – {rho ^2}} – {rho ^2}} right)drho } } \ & = {pi intlimits_0^{sqrt 2 } {left( {sqrt {6 – {rho ^2}} – {rho ^2}} right)d{rho ^2}}} end {align*} $$

نهایتا با استفاده از تغییر متغیر $$ large { rho ^ 2 } = t $$، مقدار حجم برابر با عدد زیر بدست می‌آید.

$$large begin {align*} {V }={ pi intlimits_0^{sqrt 2 } {left( {sqrt {6 – {rho ^2}} – {rho ^2}} right)d{rho ^2}} }
& = {pi intlimits_0^2 {left( {sqrt {6 – t} – t} right)dt} }
\ & = {pi left[ {left. {left( { – frac{{2{{left( {6 – t} right)}^{largefrac{3}{2}normalsize}}}}{3} – frac{{{t^2}}}{2}} right)} right|_0^2} right] }
\ & = {pi left[ { – frac{2}{3}left( {{4^{largefrac{3}{2}normalsize}} – {۶^{largefrac{3}{2}normalsize}}} right) – ۲} right] }
\ & = {pi left[ {frac{2}{3}left( {6sqrt 6 – ۸} right) – ۲} right] }
\ & = {pi left( {4sqrt 6 – frac{{16}}{3} – ۲} right) }
\ & = {2pi left( {frac{{6sqrt 6 – ۱۱}}{۳}} right) } end {align*} $$

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضی، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

  • مجموعه آموزش‌های دروس ریاضی
  • مجموعه آموزش‌های ریاضی و فیزیک
  • قضیه گرین — به زبان ساده
  • انتگرال سطحی – از صفر تا صد
  • انتگرال و روش‌های محاسبه — به زبان ساده

بلی خیر

نوشته محاسبه حجم با انتگرال سه گانه — به زبان ساده اولین بار در مجله فرادرس. پدیدار شد.

درباره ی admin

مطلب پیشنهادی

جستجوی تمام متن در لاراول با استفاده از Scout — به زبان ساده

جستجوی تمام متن یک قابلیت ضروری جهت فراهم ساختن امکان حرکت در میان صفحه‌های وب‌سایت‌های با محتوای گسترده است. در این مقاله، شیوه پیاده‌سازی امکان جستجوی تمام متن را برای یک اپلیکیشن لاراول بررسی می‌کنیم. در واقع ما از کتابخانه Scout لاراول استفاده می‌کنیم که پیاده‌سازی جستجوی تمام متن را به امری ساده و جذاب تبدیل کرده است. مستندات رسمی، کتابخانه Scout لاراول را به صورت زیر توصیف می‌کنند: کتابخانه Scout لاراول یک راه‌حل ساده و مبتنی بر درایور برای افزودن امکان جستجوی تمام متن به مدل‌های Eloquent ارائه می‌کند. Scout با استفاده از «مشاهده‌گرهای مدل» (model observers) به طور خودکار اندیس‌های جستجو را در وضعیتی همگام‌سازی شده با رکوردهای Eloquent حفظ می‌کند. کتابخانه Scout لاراول به مدیریت دستکاری اندیس‌ها در زمان بروز تغییراتی در داده‌های مدل می‌پردازد. جایی که داده‌های اندیس می‌شوند به درایوری وابسته است که برای کتابخانه Scout پیکربندی‌شده است. در حال حاضر کتابخانه Scout از Algolia پشتیبانی می‌کند که یک API موتور جستجوی مبتنی بر کلود است و ما نیز در این مقاله از آن برای نمایش پیاده‌سا..

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *