خانه / fd / دستگاه معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب متغیر — از صفر تا صد

دستگاه معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب متغیر — از صفر تا صد

در مطالب قبلی از مجموعه آموزش‌های ریاضیات مجله فرادرس، درباره دستگاه معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب ثابت بحث کردیم. در این آموزش، روش حل دستگاه معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب متغیر را بررسی می‌کنیم.

دستگاه معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب متغیر

یک دستگاه معادلات دیفرانسیل معمولی با ضرایب متغیر، به‌صورت زیر نوشته می‌شود:

$$ large { frac { { d { x _ i } } } { { d t } } = { x ’ _ i } } = { sum limits_{ j = 1 } ^ n { { a _ { i j } } left( t right) { x _ j } left( t right)} + { f _ i }left( t right),;;}kern-0.3pt
{ i = 1,2, ldots ,n,} $$

که در آن، $$ {{x_i}left( t right)} $$ توابع مجهولی هستند که در بازه $$ left[ { a , b } right] $$ پیوسته و مشتق‌پذیرند. ضرایب $$ {{a_{ij}}left( t right)} $$ و جملات آزاد $$ {f_i}left( t right) $$، توابعی پیوسته در بازه $$ left[ { a , b } right] $$ هستند.

دستگاه معادلات را به‌صورت ماتریسی-برداری زیر می‌نویسیم:

$$ large { { mathbf{X}}left( t right) } = { A left( t right) { mathbf{X}}left( t right) + { mathbf{f}} left( t right),} $$

که در آن:

$$ large { { mathbf{X} } left( t right) = left[ { begin{array}{*{20}{c}}
{ { x _ 1 } left( t right)}\
{ { x _ 2 } left( t right)}\
vdots \
{ { x _ n }left( t right)}
end{array}} right],;;}kern-0.3pt
{ { A left( t right) text{ = }}kern0pt{left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{ { a _ { 1 1 } } left( t right)}&{ { a _ { 1 2 } } left( t right)}& vdots &{{a_{1n}}left( t right)}\
{ { a _ { 2 1 } } left( t right)}& { { a _{ 2 2 } } left( t right)}& vdots & { { a _ { 2 n } } left( t right) }\
cdots & cdots & cdots & cdots \
{ { a _ { n 1 } } left( t right)}&{ { a _ { n 2 } } left( t right) }& vdots & { { a _ { n n } } left( t right)}
end{array}} right],;;}}kern-0.3pt
{ { mathbf{f}}left( t right) = left[ {begin{array}{* { 2 0 } { c } }
{ { f _ 1 }left( t right)}\
{ { f _ 2 }left( t right)}\
vdots \
{ { f _ n } left( t right)}
end{array}} right].} $$

در حالت کلی، ماتریس $$ Aleft( t right) $$ و بردار توابع $$ {mathbf{X}}left( t right) $$ و $$ {mathbf{f}}left( t right) $$ دارای هر دو مقدار حقیقی و مختلط هستند.

دستگاه همگن متناظر با ضرایب متغیر به‌فرم برداری زیر است:

$$ large { mathbf{ X ’ } } left( t right) = A left( t right) { mathbf{ X }}left( t right). $$

دستگاه اساسی جواب‌ها و ماتریس اساسی

توابع برداری $$ {mathbf{x}_1}left( t right) $$، $${mathbf{x}_2}left( t right)$$، $$ cdots$$ و $$ {mathbf{x}_n}left( t right) $$ در بازه $$ left[ {a,b} right] $$ وابسته خطی هستند، اگر اعداد $$c_1$$، $$c_2$$، $$cdots $$ و $$c_n$$ همگی صفر نباشند و رابطه زیر برقرار باشد:

$$ large { { c _ 1 }{ mathbf{ x } _ 1 }left( t right) + { c _ 2 } { mathbf{ x } _ 2 }left( t right) + cdots }+{ { c _ n }{ mathbf{ x } _ n }left( t right) equiv 0,;;}kern-0.3pt
{forall t in left[ {a,b} right].} $$

اگر این معادله فقط در شرایطِ

$$ large {{c_1} = {c_2} = cdots }={ {c_n} = 0,} $$

برقرار باشد، توابع برداری $$ {mathbf{x}_i}left( t right) $$، در بازه داده‌شده مستقل خطی نامیده می‌شوند.

هر دستگاه با $$n$$ جواب مستقل خطی $$ {mathbf{x}_1}left( t right) $$، $${mathbf{x}_2}left( t right) $$، $$ cdots $$ و $${mathbf{x}_n}left( t right) $$ یک دستگاه اساسی یا پایه از جواب‌ها نامیده می‌شود.

ماتریس مربعی $$ Phileft( t right) $$ که ستون‌های آن از جواب‌های مستقل خطی $$ {mathbf{ x } _ 1}left( t right) $$، $${mathbf{ x } _ 2}left( t right) $$، $$ cdots $$ و $${mathbf{ x } _ n}left( t right) $$ تشکیل شده‌، ماتریس اساسی دستگاه معادلات نامیده می‌شود و به‌فرم زیر است:

$$ large require{cancel}
mathbf{ X ’ }left( t right) = A left( t right)mathbf{X}left( t right) + mathbf{f}left( t right),;;Rightarrow
{cancel{ Phi ’ left( t right)mathbf{C}left( t right)} + Phi left( t right)mathbf{C’}left( t right) } \ large
= {cancel{Aleft( t right)Phi left( t right)mathbf{C}left( t right)} + mathbf{ f } left( t right),;;}Rightarrow
{Phi left( t right)mathbf{C’}left( t right) = mathbf{f}left( t right).} $$

که در آن، $$ {{x_{ij}}left( t right)} $$ مؤلفه‌های بردار جواب‌های مستقل خطی $$ {mathbf{x}_1}left( t right) $$، $${mathbf{x}_2}left( t right) $$، $$ cdots $$ و $${mathbf{x}_n}left( t right) $$ هستند.

لازم به ذکر است که ماتریس اساسی $$ Phi left( t right) $$ غیرمنفرد است، یعنی ماتریس معکوس $$ {Phi ^{ – ۱}}left( t right) $$ وجود دارد. از آنجایی که ماتریس اساسی، $$n$$ جواب مستقل خطی دارد، از جایگذاری آن در دستگاه همگن، رابطه زیر به‌دست می‌آید:

$$ large Phi’left( t right) equiv Aleft( t right)Phi left( t right) . $$

معادله اخیر را از سمت راست، در ماتریس معکوس $$ {Phi ^{ – ۱}}left( t right) $$ ضرب می‌کنیم:

$$ large { { Phi’left( t right) { Phi ^ { – ۱ } }left( t right) }equiv{ Aleft( t right)Phi left( t right) { Phi^{ – ۱ } } left( t right),;; } } Rightarrow
{ A left( t right) equiv Phi’left( t right) { Phi ^ { – ۱ } } left( t right) . } $$

رابطه منتجه، به‌طور منحصربه‌فرد، یک دستگاه معادلات همگن را ارائه می‌کند که ماتریس اساسی را نتیجه می‌دهد.

جواب عمومی دستگاه همگن برحسب ماتریس اساسی، به‌صورت زیر است:

$$ large {mathbf{ X } _ 0 }left( t right) = Phi left( t right)mathbf{ C } $$

که در آن، $$mathbf{C} $$ یک بردار $$n$$بُعدی شامل اعداد دلخواه است.

در اینجا، حالت خاص دستگاه‌ معادلات همگن را بررسی می‌کنیم. اگر ضرب ماتریس $$ Aleft( t right) $$ در انتگرال این ماتریس، جابه‌جایی‌پذیر باشد، یعنی:

$$ large { A left( t right) cdot intlimits_a^t { A left( tau right) d t } } = { intlimits_a^t { Aleft( tau right)dt} cdot Aleft( t right),} $$

ماتریس اساسی $$ Phileft( t right) $$ این دستگاه معادلات، با رابطه زیر بیان می‌شود:

$$ large Phi left( t right) = { e ^ { ,intlimits_a^t {Aleft( tau right)dtau } } } . $$

این ویژگی، در ماتریس‌های متقارن و به‌طور خاص در ماتریس‌های قطری برقرار است.

فرمول رونسکین و لیوویل

دترمینان ماتریس اساسی $$ Phileft( t right)$$، «رونسکین» (Wronskian) دستگاه جواب‌های $${mathbf{x}_1}left( t right)$$، $${mathbf{x}_2}left( t right)$$، $$ cdots $$ و $$ {mathbf{x}_n}left( t right) $$ نامیده می‌شود:

$$ large {Wleft( t right) }={ Wleft[ {{mathbf{x}_1},{mathbf{x}_2}, ldots ,{mathbf{x}_n}} right] text{ = }}kern0pt
{left| {begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{11}}left( t right)}&{{x_{12}}left( t right)}& vdots &{{x_{1n}}left( t right)}\
{{x_{21}}left( t right)}&{{x_{22}}left( t right)}& vdots &{{x_{2n}}left( t right)}\
cdots & cdots & cdots & cdots \
{{x_{n1}}left( t right)}&{{x_{n2}}left( t right)}& vdots &{{x_{nn}}left( t right)}
end{array}} right|.} $$

رونسکین، برای بررسی استقلال خطی جواب‌ها مفید است. با استفاده از رونسکین می‌توان موارد زیر را بیان کرد:

  • جواب‌های $${mathbf{x}_1}left( t right)$$، $${mathbf{x}_2}left( t right)$$، $$ cdots $$ و $$ {mathbf{x}_n}left( t right) $$ دستگاه همگن، یک دستگاه اساسی تشکیل می‌دهند اگر و فقط اگر رونسکین متناظر، در هیچ نقطه‌ای از بازه $$ left[ {a,b} right] $$ صفر نباشد.
  • جواب‌های $${mathbf{x}_1}left( t right)$$، $${mathbf{x}_2}left( t right)$$، $$ cdots $$ و $$ {mathbf{x}_n}left( t right) $$ در بازه $$ left[ {a,b} right] $$ وابسته خطی هستند اگر و فقط اگر رونسکین در این بازه به‌صورت تحلیلی صفر باشد.

رونسکین جواب‌های $${mathbf{x}_1}left( t right)$$، $${mathbf{x}_2}left( t right)$$، $$ cdots $$ و $$ {mathbf{x}_n}left( t right) $$ با «فرمول لیوویل» (Liouville’s Formula) محاسبه می‌شود:

$$ large Wleft( t right) = {e^{,intlimits_a^t {text{tr}left( {Aleft( tau right)} right)dtau } }}, $$

که در آن، $$ {text{tr}left( {Aleft( tau right)} right)} $$ اثر ماتریس $$ {Aleft( tau right)} $$ (یعنی مجموع درایه‌های قطر اصلی) است:

$$ large {text{tr}left( {Aleft( tau right)} right) }={ {a_{11}}left( tau right) + {a_{22}}left( tau right) + cdots }+{ {a_{nn}}left( tau right).} $$

در حالتی که جواب خصوصی معلوم باشد، می‌توان از فرمول لیوویل برای تشکیل جواب عمومی دستگاه همگن استفاده کرد.

روش تغییر ثابت‌ها (روش لاگرانژ)

اکنون درباره دستگاه‌های ناهمگن بحث می‌کنیم که می‌توان آن‌ها را به‌فرم برداری-ماتریسی زیر نوشت:

$$ large {mathbf{X’}left( t right) }={ Aleft( t right)mathbf{X}left( t right) + mathbf{f}left( t right).} $$

جواب عمومی چنین دستگاهی، مجموع جواب عمومی $$ {mathbf{X}_0}left( t right) $$ دستگاه همگن متناظر و یک جواب خصوصی $$ {mathbf{X}_1}left( t right) $$ دستگاه ناهمگن است. یعنی:

$$ large {mathbf{X}left( t right) }={ {mathbf{X}_0}left( t right) + {mathbf{X}_1}left( t right) }
= {Phi left( t right)mathbf{C} + {mathbf{X}_1}left( t right),} $$

که در آن، $$ Phi left( t right) $$ یک ماتریس اساسی و $$ mathbf{C} $$ یک بردار دلخواه است.

متداول‌ترین روش برای حل دستگاه‌های ناهمگن، روش تغییر ثابت‌ها (روش لاگرانژ) است. در این روش، به‌جای بردار ثابت $$mathbf{C} $$، بردار $$ mathbf{C}left( t right) $$ در نظر گرفته می‌شود که مؤلفه‌های آن، توابع پیوسته مشتق‌پذیری از متغیر مستقل $$t$$ هستند، یعنی فرض می‌کنیم:

$$ large mathbf{X}left( t right) = Phi left( t right)mathbf{C}left( t right). $$

با جایگذاری رابطه اخیر در دستگاه ناهمگن، بردار مجهول $$ mathbf{C}left( t right) $$ به‌دست می‌آید:

$$ large require{cancel}
{mathbf{X’}left( t right) = Aleft( t right)mathbf{X}left( t right) + mathbf{f}left( t right),;;}Rightarrow
{cancel{Phi’left( t right)mathbf{C}left( t right)} + Phi left( t right)mathbf{C’}left( t right) } \ large
= {cancel{Aleft( t right)Phi left( t right)mathbf{C}left( t right)} + mathbf{f}left( t right),;;}Rightarrow
{Phi left( t right)mathbf{C’}left( t right) = mathbf{f}left( t right).} $$

از آنجایی که ماتریس $$ Phi left( t right) $$ نامنفرد است، معادله اخیر را از چپ در $$ {Phi^{ – ۱}}left( t right) $$ ضرب می‌کنیم:

$$ large {{{Phi^{ – ۱}}left( t right)Phi left( t right)mathbf{C’}left( t right) }={ {Phi^{ – ۱}}left( t right)mathbf{f}left( t right),;;}}
\ large Rightarrow
{mathbf{C’}left( t right) = {Phi^{ – ۱}}left( t right)mathbf{f}left( t right).} $$

بعد از انتگرال‌گیری، ماتریس $$ mathbf{C}left( t right) $$ به‌دست می‌آید.

مثال‌ها

در ادامه، چند مثال را بررسی می‌کنیم.

مثال ۱

دستگاه خطی معادلاتی با جواب‌های زیر را بنویسید:

$$ large { { mathbf{ x } _ 1 }left( t right) = left[ {begin{array}{*{ 2 0 } { c } }
2\
t
end{array}} right],;;}kern-0.3pt
{{mathbf{ x } _ 2 }left( t right) = left[ {begin{array}{*{ 2 0 } { c } }
t\
{ { t ^ 2 } }
end{array}} right],;;}kern-0.3pt
{t ne 0.} $$

حل: در این مسئله، ماتریس اساسی دستگاه به‌صورت زیر است:

$$ large Phi left( t right) = left[ {begin{array}{ * { 2 0 } { c } }
2&t\
t&{ { t ^ 2 } }
end{array}} right]. $$

اکنون ماتریس معکوس $$ {Phi ^{ – ۱}}left( t right) $$ را محاسبه می‌کنیم:

$$ large { { Delta left( Phi right) = left| { begin{array}{* { 2 0 } { c } }
2&t\
t& { { t ^ 2 } }
end{array}} right| }={ 2{t^2} – {t^2} = {t^2},;;}}\ large Rightarrow
{{Phi ^ { – ۱ } } left( t right) = frac{ 1 }{ { Delta left( Phi right) } } C _ { i j } ^ T }
= {frac{ 1 }{ { { t ^ 2 } } } { left[ {begin{array} { * { 2 0 } { c } }
{ {t ^ 2 } } &{ – t}\
{ – t }&2
end{array}} right]^T} }\ large
= {frac{1}{ { {t ^ 2 } } } left[ {begin{array}{ * { 2 0 } { c } }
{ { t ^ 2 } } & { – t } \
{ – t } & 2
end{array}} right] }
= {left[ {begin{array}{*{20}{c}}
1&{ – frac{1}{t}}\
{ – frac{ 1 } { t } } &{frac{2}{ { { t ^ 2 } } } }
end{array}} right].} $$

در معادلات بالا، $$ {C_{ij}} $$ همسازه‌های متناظر با درایه‌های ماتریس اساسی $$ Phi left( t right) $$ هستند.

ماتریس ضرایب دستگاه معادلات به‌صورت زیر است:

$$ large Aleft( t right) = Phi’left( t right) { Phi ^ { – ۱ } } left( t right). $$

مشتق ماتریس اساسی برابر است با (درایه به درایه حساب می‌شود):

$$ large { Phi ’ } left( t right) = left[ {begin{array} { * { 2 0 } { c } }
0&1\
1& { { 2 t } }
end{array}} right]. $$

بنابراین، داریم:

$$ large {Aleft( t right) }={ left[ {begin{array} { * { 2 0 } { c } }
0&1\
1& { 2 t }
end{array}} right]left[ {begin{array} { * { 2 0 } { c } }
1 & { – frac{ 1 } { t } } \
{ – frac{1}{t } } & {frac{2} { { { t ^ 2 } } } }
end{array}} right] } \ large
= {left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{0 – frac{1}{t}}&{0 + frac{2}{{{t^2}}}}\
{1 – ۲}&{ – frac{ 1 } { t } + frac{ 4 } { t } }
end{array}} right] }
= {left[ {begin{array}{ * { 2 0 } { c } }
{ – frac{ 1 } { t } } & { frac{ 2 } { { { t ^ 2 } } } } \
{ – ۱ }&{frac{ 3 } { t } }
end{array}} right].} $$

در نتیجه، دستگاه معادلات که جواب‌های آن، $$ {mathbf{x}_1}left( t right) $$ و $${mathbf{x}_2}left( t right) $$ است، به‌صورت زیر خواهد بود:

$$ large {frac{ { d x } } { { d t } } = – frac{ x } { t } + frac { { 2 y } } { { { t ^ 2 } } } ,;;}kern-0.3pt
{frac{ { d y } } { { d t } } = – x + frac{ { 3 y }} { t } . } $$

مثال ۲

جواب عمومی دستگاه معادلاتِ

$$ large {frac{ {dx}}{{dt}} = – tx + y,;;}kern-0.3pt
{frac{{dy}}{{dt}} = left( {1 – { t ^ 2 } } right)x + ty,;;}kern-0.3pt
{x gt 0} $$

را با دانستن جواب زیر بیابید:

$$ large { mathbf{ X } _ 1 }left( t right) = left[ {begin{array}{ * { 2 0 } { c } }
{ { x _ 1 } left( t right)}\
{ { y _ 1 } left( t right) }
end{array}} right] = left[ {begin{array}{ * { 2 0 } { c } }
1\
t
end{array}} right]. $$

حل: جواب مستقل خطی دوم را با تابع برداری زیر نمایش می‌دهیم:

$$ large { mathbf{ X } _ 2 } left( t right) = left[ {begin{array}{ * { 2 0 } { c } }
{ { x _ 2 } left( t right)}\
{ { y _ 2 }left( t right)}
end{array}} right] = left[ {begin{array}{ * { 2 0 } { c } }
u\
v
end{array}} right] $$

که شرایط اولیه، $$ uleft( {t = 0} right) = 0 $$ و $$ vleft( {t = 0} right) = 1 $$ است.

می‌توانیم از فرمول لیوویل استفاده کنیم:

$$ large {Wleft( t right) = left| {begin{array}{*{20}{c}}
1&u\
t&v
end{array}} right| }
= {left| {begin{array}{*{20}{c}}
1&0\
t&1
end{array}} right|{e^{,intlimits_0^t {left( {Aleft( tau right)} right)dtau } }} } \ large
= {1 cdot {e^{,intlimits_0^t {left( { – tau + tau } right)dtau } }} }
= {{e^{,intlimits_0^t {0dtau } }} }
= {{e^0} = 1.} $$

در نتیجه، رابطه بین توابع مجهول $$u$$ و $$v$$ به‌دست می‌آید:

$$ large v – tu = 1. $$

معادله دوم دستگاه اصلی را در نظر بگیرید. با جایگذاری جواب $$ {mathbf{X}_2}left( t right) $$، داریم:

$$ large {frac{{dv}}{{dt}} }={ left( {1 – {t^2}} right)u + tv.} $$

از معادله قبل جمله $$tv$$ را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:

$$ large {v – tu = 1,;; }Rightarrow {tv – {t^2}u = t,;;}Rightarrow
{tv = {t^2}u + t.} $$

با جایگذاری معادله اخیر در معادله دیفرانسیل تابع $$v(t)$$، داریم:

$$ large require{cancel}
{frac{{dv}}{{dt}} = left( {1 – {t^2}} right)u + tv,;;}Rightarrow
{frac{{dv}}{{dt}} = left( {1 – {t^2}} right)u + {t^2}u + t,;;} \ largeRightarrow
{frac{{dv}}{{dt}} = u – cancel{{t^2}u} + cancel{{t^2}u} + t,;;}Rightarrow
{frac{{dv}}{{dt}} = u + t,;;}Rightarrow
{tfrac{{dv}}{{dt}} = tu + {t^2}.} $$

با توجه به اینکه $$ tu = v – ۱ $$، یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول برای تابع $$v(t) $$ به‌دست می‌آید:

$$ large tfrac{{dv}}{{dt}} = v – ۱ + {t^2} $$

یا

$$ large {tfrac{{dv}}{{dt}} = v + {t^2} – ۱٫} $$

ابتدا جواب متناظر با معادله همگن را پیدا می‌کنیم:

$$ large {tfrac{{dv}}{{dt}} = v,;; }Rightarrow {frac{{dv}}{v} = frac{{dt}}{t},;;}Rightarrow
{int {frac{{dv}}{v}} = int {frac{{dt}}{t}} ,;;} \ largeRightarrow
{ln left| v right| = ln left| t right| + ln C,;;}Rightarrow
{{v_0}left( t right) = Ct,} $$

که در آن، $$C$$ یک عدد دلخواه است.

اکنون، جواب معادله ناهمگن را با استفاده از روش تغییر پارامتر تعیین می‌کنیم:

$$ large {vleft( t right) = Cleft( t right)t,;;}Rightarrow
{frac{{dvleft( t right)}}{{dt}} }={ frac{{dCleft( t right)}}{{dt}}t + Cleft( t right).} $$

بعد از جایگذاری، توصیف مشتق $$ {largefrac{{dC}}{{dt}}normalsize} $$ را به‌دست می‌آوریم:

$$ large {{tleft( {tfrac{{dC}}{{dt}} + C} right) }={ Ct + {t^2} – ۱,;;}}\ large Rightarrow
{{{t^2}frac{{dC}}{{dt}} + cancel{Ct} }={ cancel{Ct} + {t^2} – ۱,;;}}Rightarrow
{{frac{{dC}}{{dt}} = frac{{{t^2} – ۱}}{{{t^2}}} }={ 1 – frac{1}{{{t^2}}}.}} $$

با انتگرال‌گیری از معادله فوق، مقدار $$Cleft( t right) $$ به‌دست می‌آید:

$$ large {Cleft( t right) }={ int {left( {1 – frac{1}{{{t^2}}}} right)dt} }={ t + frac{1}{t}.} $$

تابع $$vleft( t right) $$ با فرمول زیر بیان می‌شود:

$$ large {vleft( t right) = Cleft( t right)t }={ {t^2} + 1.} $$

اکنون یافتن تابع $$u(t)$$ ساده است:

$$ large {v – tu = 1,;; }Rightarrow {tu = v – ۱,;;} \ large Rightarrow
{tu = {t^2} + cancel{1} – cancel{1},;;}
{Rightarrow uleft( t right) = t.} $$

بنابراین، جواب دوم دستگاه به‌صورت زیر است:‌

$$ large {{mathbf{X}_2}left( t right) = left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{{x_2}left( t right)}\
{{y_2}left( t right)}
end{array}} right] }
= {left[ {begin{array}{*{20}{c}}
u\
v
end{array}} right] }
= {left[ {begin{array}{*{20}{c}}
t\
{{t^2} + 1}
end{array}} right].} $$

جواب کلی را نیز می‌توان به‌صورت زیر نوشت:

$$ large {mathbf{X}left( t right) }={ {C_1}{mathbf{X}_1}left( t right) + {C_2}{mathbf{X}_2}left( t right) }
= {{{C_1}left[ {begin{array}{*{20}{c}}
1\
t
end{array}} right] }+{ {C_2}left[ {begin{array}{*{20}{c}}
t\
{{t^2} + 1}
end{array}} right],}} $$

که در آن، $$C_1$$ و $$C_2$$ ثابت‌هایی دلخواه هستند.

اگر این مطلب برایتان مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

  • مجموعه آموزش‌های دروس ریاضیات
  • مجموعه آموزش‌های ریاضیات و فیزیک پایه
  • آموزش ریاضی پایه دانشگاهی
  • دستگاه معادلات دیفرانسیل خطی — به زبان ساده
  • معادله دیفرانسیل بسل — به زبان ساده
  • معادلات دیفرانسیل ضمنی — به زبان ساده

^^

بلی خیر

نوشته دستگاه معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب متغیر — از صفر تا صد اولین بار در مجله فرادرس. پدیدار شد.

درباره ی admin

مطلب پیشنهادی

جستجوی تمام متن در لاراول با استفاده از Scout — به زبان ساده

جستجوی تمام متن یک قابلیت ضروری جهت فراهم ساختن امکان حرکت در میان صفحه‌های وب‌سایت‌های با محتوای گسترده است. در این مقاله، شیوه پیاده‌سازی امکان جستجوی تمام متن را برای یک اپلیکیشن لاراول بررسی می‌کنیم. در واقع ما از کتابخانه Scout لاراول استفاده می‌کنیم که پیاده‌سازی جستجوی تمام متن را به امری ساده و جذاب تبدیل کرده است. مستندات رسمی، کتابخانه Scout لاراول را به صورت زیر توصیف می‌کنند: کتابخانه Scout لاراول یک راه‌حل ساده و مبتنی بر درایور برای افزودن امکان جستجوی تمام متن به مدل‌های Eloquent ارائه می‌کند. Scout با استفاده از «مشاهده‌گرهای مدل» (model observers) به طور خودکار اندیس‌های جستجو را در وضعیتی همگام‌سازی شده با رکوردهای Eloquent حفظ می‌کند. کتابخانه Scout لاراول به مدیریت دستکاری اندیس‌ها در زمان بروز تغییراتی در داده‌های مدل می‌پردازد. جایی که داده‌های اندیس می‌شوند به درایوری وابسته است که برای کتابخانه Scout پیکربندی‌شده است. در حال حاضر کتابخانه Scout از Algolia پشتیبانی می‌کند که یک API موتور جستجوی مبتنی بر کلود است و ما نیز در این مقاله از آن برای نمایش پیاده‌سا..

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *